Equações diferenciais lineares de ordem superior

Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior

Problemas de valor inicial e de valor de contorno

Problema de valor inicial

Para uma equação diferencial de n-ésima ordem, o problema

Resolva: [pic]

Sujeita a: [pic] (1)

Em que y0, y0´, ...y0(n-1) são constantes arbitrárias, é chamado de um problema de valor inicial. Os valores específicos y(x0) = y0, y´(x0) = y0´, ..., y(n-1)(x0) = y0(n-1) são chamados de condições iniciais. Procuramos uma solução em algum intervalo I contendo x0.

No caso de uma equação linear de segunda ordem, uma solução para o problema de valor inicial

[pic] [pic] [pic],

é uma função que satisfaça a equação diferencial em I cujo gráfico passa pelo ponto (x0, y0) com inclinação igual a y0´.

O próximo teorema nos fornece condições suficientes para a existência de uma única solução para (1).

- Teorema – Existência de uma Única Solução

Sejam an(x), an-1(x), …, a1(x), a0(x) e g(x) são contínuas em um intervalo I com an(x) [pic] 0 para todo x neste intervalo. Se x = x0 é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução y(x) para o problema de valor inicial (1) neste intervalo.

- Definição – Dependência Linear

Dizemos que um conjunto de funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) é linearmente dependente em um intervalo I se existem constantes c1, c2, ..., cn não todas nulas, tais que

[pic]

para todo x no intervalo.

- Definição – Independência Linear

Dizemos que um conjunto de funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) é linearmente independente em um intervalo I se ele não é linearmente dependente no intervalo.

Wronskiano

O seguinte teorema proporciona condição suficiente para a independência linear de n funções em um intervalo. Supomos que cada função seja diferenciável pelo menos n – 1 vezes.

- Teorema – Critério para Independência Linear de Funções

Suponha que f1(x), f2(x), ..., fn(x) sejam diferenciáveis pelo menos n – 1 vezes. Se o determinante