Equações diferenciais - exercícios resolvidos

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O primeiro passo é resolver a equação diferencial (dQ(t))/dt=kQ(t) onde Q(t) é a quantidade de material radioativo no instante t. Para isso, dividindo a equação acima por Q(t), obtém-se (d/dt Q(t))/(Q(t))=K onde o lado esquerdo é a derivada da composta ln(Q(t)). Assim, integrando a igualdade acima e indicando por c a constante de integração, obtém-se que ln⁡〖(Q(t))=kt+c〗
Isolando o valor de Q(t) e denotando por Q(t_0 )=e^c, segue-se que a solução geral da equação é dada por
Q(t)=e^(kt+c)
Q(t)=Q(t_0)e^kt letra e)

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Q(t_0 )=60
Meia vida de 5,26 anos
Substituindo temos
Q(t)=60e^(-5,26t) letra c)

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De acordo com as leis de resfriamento de Newton, a temperaturau(t) de um objeto satisfaz a equação diferencial d/dt u(t)=k(u(t)-T) onde T é a temperatura ambiente constante e k é uma constante positiva e u(t) é temperatura de um objeto. Sendo u(t)=T e
T=T_meio. Então d/dt T=k(T-T_meio) , letra c)

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Substituindo
final=4^0 C inicial=〖25〗^0 C meio ambiente=0^0 C
Na equação u(t)=T+(u_0-T)e^(-kt), temos
4=0+(25-0)e^(1,69.〖10〗^(-3) t) e^(-1,69.〖10〗^(-3) t)=4/25=0,016
Aplicando ln nos dois lados, temos
-1,69.〖10〗^(-3) t=ln0,016 t=1084,37s=18,07min Portanto, letra a)

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Temos que, E=U_R+U_C como U_R=RI
U_C=q/C
I=dq/dt , substituindo encontramos
E=U_R+U_C=RI+q/C=R dq/dt+q/C
R dq/dt=E-q/C dq/dt=(E-q/C)∙1/R=E/R-q/RC , portanto letra d)

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Se q(t=0)=0, encontre q(t) em qualquer instante t.
Separando as variáveis, percebe-se que a equação é equivalente a (d/dt q(t))/(q(t)-EC)=-1/RC

Logo, integrando em ambos os lados, obtém-se que ln(|q(t)-EC|)=t/RC+k1, onde k1 é uma constante de integração. Isolando o valor de q(t), e considerando que