Equações algébricas

2 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES 2.1-Introdução:

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Seja dada uma equação (algébrica ou transcendente) f(x) = 0 de raiz _ x . _ Os métodos mais comuns para se obter aproximação xk+1 da raiz x , sabendo-se que x ∈ (xk-1 , xk ) são: - Bisseção. - Cordas (Regula falsi) - Newton (tangentes) - Pégaso. - Iteração Linear Dos métodos acima, serão estudados: o método das Cordas (regula falsi) e o método de Newton. 2.2-Método das Cordas - Regula-falsi Vantagens: a) sempre converge para a raiz b) a convergência é relativamente rápida. c) é de fácil dedução. d) é de fácil manipulação e implementação computacional.
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O método consiste em, a) a partir de um intervalo (xk-1 , xk) que contenha a raiz x , obter nova aproximação xk+1 . Esta nova aproximação é a abscissa do ponto interseção da reta que passa por (xk-1 , yk-1) e (xk , yk) com o eixo x . Observando a figura tem-se: y yk xk+1 f(x) •B

xk-1

xk x

yk-1

• A

a) reta por AB y - yk = m(x - xk) onde m =

y k − y k −1 x k − x k −1

b) x k +1 é obtido fazendo-se y = 0 na equação da reta, logo:

0 − yk =

y k − y k −1 ( x k +1 − x k ) xk − xk −

c) eliminando-se xk+1 da igualdade tem-se:

x k +1 =

x k −1 y k − x k y k −1 y k − y k −1

NOTA: a fórmula iterativa acima deve ser aplicada até que: | xk+1 - xk | < ε e | yk+1 | < ε onde ε é a tolerância de erro. Passos auxiliares para escrever o algoritmo CORDAS . 1o) entrar com os valores iniciais

(xk −1

, y k −1 ) e (x k , y k ) e fazer teste para verificar se a

raiz está no intervalo ( y k . y k −1 < 0 verdadeiro ) ; ε (precisão) 2o) fazer teste de parada: enquanto xk +1 − xk > ε e y k +1 > ε executar passos 30 , 40 e 50. 3o) xk +1 =

xk −1 y k − xk y k −1 cálculo de novo valor de x. y k − y k −1

4o) y ( xk +1 ) cálculo da imagem 5o) se yk . yk + 1 < 0 então xk − 1 ← xk e y k -1 ← yk , novos valores de entrada.
6o.) xk ← xk + 1 ; y k ← yk + 1 7o) xk +1 , raiz com precisão desejada.

Exemplo 2: Use o método das cordas