Equação reta

Equação Vetorial da Reta
Dois pontos P e Q, definem um único vetor v = PQ, que representa uma direção. Todo ponto R cuja direção PR seja a mesma de PQ está contido na mesma reta definida pelos pontos P e Q. Portanto, podemos definir uma reta como o conjunto de todos os pontos da forma:
R = P + t*PQ, onde t é um número real, e t*PQ é colinear a PQ.

Se P = (a, b), Q = (c, d) são pontos definindo uma reta e R = (x, y) é um outro ponto da reta definido obtido com um certo parâmetro t tal que R = P + t*PQ, então:
(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b)
Como cada parâmetro real t vai gerar um ponto distinto na reta, podemos considerar que os pontos da reta estão em função de t, ou seja:
R(t) = (x(t), y(t)) = P + t*PQ = (a + t*(c-a), b + t*(d-b))
Segmentos de retas: Podemos representar um segmento de reta PQ restringindo o domínio paramétrico de R(t). Basta observarmos que R(0) = P e R(1) = Q. É fácil ver então que os pontos R(t), onde são pontos do segmento.
Intersecção de retas: Duas retas r1 e r2 vão se intersectar se possuírem um mesmo ponto comum.
Usando a equação vetorial da reta, temos:
R1(t) = (x1(t), y1(t)) e R2(u) = (x2(u), y2(u)).
Para que um ponto pertença simultaneamente a r1 e r2, devemos ter: x1(t) = x2(u) y1(t) = y2(u)
Quando esse sistema possui solução única nas variáveis t e u, essas retas são concorrentes, logo possuem um ponto de intersecção.
Intersecção de segmentos de reta: Uma vez conhecidos os parâmetros do ponto de intersecção de 2 retas, é necessário determinar se este ponto de intersecção pertence aos segmentos de retas. Dado um segmento de reta na forma PQ, com equação vetorial na forma R(t) = P + t*PQ, o ponto de intersecção da reta definida por PQ com uma outra reta pertencerá ao segmento PQ se:

onde t é o parâmetro obtido na resolução do sistema para determinar intersecção de retas. Portanto, dois segmentos se intersectam se os dois parâmetros obtidos respeitarem a condição