Equação diferencial mhs

DEDUÇÃO COMPLEMENTAR: Resolvendo a equação diferencial para o MHS.

A função horária da posição, para um MHS (sem defasagem), poderia ter sido obtida resolvendo-se uma equação diferencial simples, veja o raciocínio seguido: • A força restauradora do movimento oscilatório de um sistema massa-mola é: F=-k.x (o sinal de menos indica que a força exercida pela mola é sempre contrária à elongação) onde k é a constante elástica da mola e x é a elongação da mola no momento considerado. Se não houverem outras forças sendo exercidas sobre o oscilador ou se as outras forças exercidas se anularem entre si, a força restauradora será a própria resultante das forças. • A segunda lei de Newton informa que, se a resultante das forças exercidas sobre um corpo é diferente de zero, ele sofrerá uma aceleração com mesma direção e mesmo sentido que a força resultante, e de módulo inversamente proporcional à massa do corpo e diretamente proporcional ao módulo da força resultante: ΣF=m.a Portanto se a força elástica é a resultante das forças exercidas sobre a massa. Podemos escrever a relação: m.a=-k∆x • ou

•

a=

-κ .x m

Mas, do estudo de movimentos, sabemos que a aceleração de um corpo é dada pela derivada da velocidade, que por sua vez é a derivada da posição:

a= d2x dt 2

dv d 2 x = dt dt 2

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Então como a =

d2x dt 2

teremos

=

- κ .x m

•

Lembrando que ω =

κ m

temos ω 2 = d2x dt
2

κ m

• •

Assim a expressão anterior fica

= −ω 2 .x

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem (veja tabelas de equações diferenciais básicas) que apresenta solução exemplar do tipo: x(t)=c1eiωt+c2e-iωt

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Utilizando as relações entre funções exponenciais e trigonométricas vemos que: eiωt=cosωt + isenωt e e-iωt=cosωt - isenωt

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Substituindo essas relações na solução acima, teremos:

x(t)=c1(cosωt+isenωt)+c2(cosωt-isenωt) Ou, juntando os termos semelhantes: x(t)=(c1+c2)cos(ωt).+(c1-c2)isen(ωt) A solução desta equação ainda não está