Equação diferencial integral - de primeira ordem

Exercício 3 Página 46 – Boyce e DiPrima

Um tanque contém inicialmente 100 galões de água fresca. Joga-se, então, água contendo ¹/2 libra de sal por galão a uma taxa de 2 galões por minuto e permite-se que a mistura saia do tanque a mesma taxa. Após 10 minutos, para-se o processo e joga-se água fresca no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, com a mistura deixando o tanque, novamente, à mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque ao final de 10 minutos adicionais.

Seja y(t) a quantidade de sal (em libras) após t minutos. É dado que y(0) = 0, e queremos encontrar y(10). Começaremos por encontrar uma equação diferencial que seja satisfeita por y(t). Para isso observamos que dy/dt, que é a taxa segundo a qual a quantidade de sal no tanque está variando com o tempo, pode ser expressa como:

(1)

Onde a taxa de entrada é aquela segundo a qual o sal entra no tanque e a taxa de saída é a qual o sal deixa o tanque.

Podemos afirmar que a taxa segundo a qual o sal entra no tanque é:

(2)

O volume da mistura permanece constante, tendo que a vazão de saída é igual à vazão de entrada, ou seja, o volume será de 100 galões.

Assim, decorridos t minutos, o tanque contém y(t) libras de sal por 100 galões de água salgada, e, portanto, a taxa segundo a qual o sal deixa o tanque naquele instante é:

(3)

Portanto, (1) pode ser escrita como:

(4)

Como é dado que y(0) = 0, a função y(t) pode ser obtida resolvendo-se o problema de valor inicial:

(4)

O fator integrante para esta equação é:

(5)

Para facilitar, consideremos C=1, então:

(6)

Agora multiplica-se cada termo da equação pelo fator integrante:

(7)

Sabe-se que o primeiro membro é a derivada:

(8)

Substituindo (8) em (7) (9)

Integrando ambos os membros da equação (9):

(10)

Rearranjando a equação:

(11)

Solução Geral

Agora, para encontrar a solução particular precisa-se inicialmente encontrar a constante C. Para isto, utilizaremos as condiçoes