Equação da reta, equação do plano

CAPÍTULO I – EQUAÇÕES DA RETA
1.1 Equação vetorial
Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2.
Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores
®
P1P e
®
P1P2 são colineares. Como P1 e P2 são distintos, o vetor
®
P1P2 é não nulo, então existe um escalar l tal que
® ®
P1P = l P1P2
. Assim, P pertence a r se, e somente se, P = P1 + lP1P2
; lÎIR
®
. Podemos então concluir que todo ponto da reta r satisfaz à equação:
X P1 P1P2
; IR , que é chamada de equação vetorial da reta r.
Observemos que o fundamental na determinação da equação vetorial de uma reta, é conhecermos um ponto desta reta e um vetor ( não nulo ) na sua direção. Um vetor na direção da reta r é chamado vetor direção da reta r, e indicado por r v r . r : X = Po
+ hv r ; h Î IR r Assim, cada escalar h determina um único ponto P pertencente a r e, reciprocamente, para cada ponto de r, existe um único valor real h tal que P P h v . o r r = + r P2
P1
r
Po
r v r2
1.2 Equações paramétricas e simétricas
Fixado um sistema de coordenadas, sejam P (x , y , z ) e v (a, b,c) o o o o r
=
r .
A equação vetorial da reta r, determinada por o r P e v r é: r :(x, y, z) = (x o , y o , z o ) + h (a,b, c); h Î IR , que equivale ao sistema ;h IR z z h c y y h b x x h a r : o o o Î ï î ï í ì = +
= +
= + Å
As equações acima são chamadas de equações paramétricas da reta r.
Se abc ¹ 0, eliminando o parâmetro h do sistema Å, obtemos c z z b y y a x x r : o o o Ç
Estas equações são denominadas equações simétricas da reta r.
As equações em Ç, poderiam ser obtidas observando o paralelismo que deve existir entre os vetores:
P P (x x ,y y ,z z ) e v (a,b,c), abc 0. o = - o - o - o r = ¹
® r
Exemplos
1. Determine uma equação da reta r que:
a) passa pelos pontos P (3, 1,1) e