Equação da onda e do calor

INTRODUÇÃO
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) viveu na época de Napoleão, para quem trabalhou na França e no Egito ocupado pelos franceses. Mas, seu nome foi imortalizado pelas séries trigonométricas que introduziu em 1807 e até hoje deslumbram os matemáticos, físicos, estatísticos e engenheiros. Essas séries são uma verdadeira dádiva para quem precisa descrever uma função mais ou menos complicada em uma forma simples de visualisar e manipular. A história das séries de Fourier ilustra como a solução de um problema físico aca ba gerando novas fronteiras na matemática. Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação deveria se dar por ondas de calor e levando em conta que a forma mais simples de uma o nda é uma função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.
Neste trabalho, apresentaremos a dedução das Equações da Onda, do Calor e do
Potencial Eletrostático. Equações essas que podem ser resolvidas utilizando a Serie de Fourier, aprendida durante o semestre.

EQUAÇÃO DA ONDA
Segundo Churchill(1978), a equação da onda pode ser obtida usando-se o exemplo de uma corda vibrando, desde que sejam satisfeitas algumas condi ções. É isso que será feito abaixo. Supõe-se uma corda de comprimento L firmemente esticada, cuja posição de equilíbrio é algum intervalo (de comprimento L) sobre o eixo x. A corda vibra no plano xy. Assume -se que os pontos da corda não sofrem desl ocamento na direção x, apenas se deslocam transversalmente (na direção y) e cada ponto terá um deslocamento y(x, t) que depende de x e do tempo t. Considera-se que os deslocamentos y são pequenos em relação ao comprimento da corda.
Assume-se que a tensão P (tangencial) da corda seja suficientemente grande para que a corda tenha comportamento perfeitamente flexível. Isto é, os efeitos de momentos de flexão
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