Equaçoes diferenciais de segunda ordem

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES
CONSTANTES
FORMA PADRÃO : a y
′′
+ b y
′
+ cy = 0
Exemplos . 1) y
′′
+ 6y
′
+ 5y = 0 a = 1 , b =6 e c = 5
2) y
′′
+ y
′
= 0 a = 1 , b = 1 e c = 0
3) 2y
′′
– 5y
′
+ 4y = 0 a = 2 , b = – 5 e c = 4
4) y
′′
– 9y = 0 a = 1, b = 0 e c = 9
As soluções usuais destas equações são funções exponenciais, funções l ineares e as funções trigonométricas seno e cosseno, que são periódicas. Por exemplo, uma s olução da equação diferencial y
′′
– 9y = 0 é y = e
3x
, pois y
′
= 3e
3x
e y
′′
= 9e
3x
, donde y
′′
– 9y = 9e
3x
– 9e
3x
= 0. De acordo com a teoria, as equações diferenciais lineares de ordem 2, homogêneas, com coeficientes constantes, possuem duas soluções linearmente independentes. Tais soluçõe s podem ser determinadas através do método da equação característica. No caso da equação y
′′
– 9y = 0 , supondo uma solução exponencial, isto é, da forma y = e rx , vemos que y' = re rx e y'' = r
2
e rx ; substituindo na equação y
′′
– 9y = 0, resulta r
2
e rx – 9e rx = 0, logo (r
2
– 9)e rx = 0. Como e rx ≠
0,
segue r
2
– 9 = 0, donde r = 3 ou r = – 3. A equação r
2
– 9 = 0 é chamada de equação característica da equação diferencial. Assim, as soluções linearmente independent es da equação y
′′
– 9y = 0 são as funções y
1
= e
3x
e y
2
= e
–3x
. Neste caso, a solução geral da equação y
′′
– 9y = 0 é dada por y = ae
3x
+ be
–3x
, onde a e b são constantes arbitrárias. Generalizando este exem plo, descrevemos abaixo o método da equação característica.
Solução geral da equação a y
′′
+ b y
′
+ cy = 0 em termos das raízes r
1
e r
2
da equação característica ar
2
+ br +c = 0 . A equação característica é uma equação de seg undo grau, na incógnita r. Esta equação equivale a substituir , na edo dada, y
′′
por r
2
, y
′
por r e y por 1, respectivamente. Ao resolver esta equação,