Equaçao diferencial ordinaria

[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5]
Cálculo do Wronskiano

[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5]
Como >0;() e () são um conjunto de soluções fundamentais da equação
[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5]

Teorema:
Para equação diferencial homogênea:
[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5]

[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5] onde as funçõesesão contínuas e um dado intervalo aberto “I”.
Considerando a existência de(), tal que:
[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5] e
[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5] e de tal que:
[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5] e
[ LINHA COM LETRA TAMANHO 5]
Então e formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.

como, e , temos que
INHA COM LETRA TAMANHO 5]
Exemplo 5:
Achar uma solução particular da equação:
INHA COM LETRA TAMANHO 5] INHA COM LETRA TAMANHO 5]
Podemos separar de forma que:
INHA COM LETRA TAMANHO 5]

e
INHA COM LETRA TAMANHO 5]
Dos exemplos anteriores,
INHA COM LETRA TAMANHO 5]

INHA COM LETRA TAMANHO 5]
Em alguns casos, ocorrem dificuldades na solução de equações não-homogêneas com a metodologia apresentada até agora:
Exemplo 6:
Achar uma solução particular da equação:
INHA COM LETRA TAMANHO 5]

INHA COM LETRA TAMANHO 5]
Como vimos podemos supor que
INHA COM LETRA TAMANHO 5]
Assim:

e, subistituindo em , temos: INHA COM LETRA TAMANHO 5] INHA COM LETRA TAMANHO 5]
O que nos mostra que a suposta solução particular escolhida não atende.

e
INHA COM LETRA TAMANHO 5] que são as partes real e imaginária de . INHA COM LETRA TAMANHO 5]
Assim, se e e formam um conjunto fundamental de soluções.
Portanto, se as raízes do polinômio característico forem complexas e conjulgadas e , então: INHA COM LETRA TAMANHO 5]

é solução geral da equação diferencial, onde e são constantes.
Exemplo:
Achar a solução geral de:
INHA COM LETRA TAMANHO 5]

INHA COM LETRA TAMANHO 5]
Equação característica:
INHA COM LETRA TAMANHO 5]

Suas raízes:
INHA COM LETRA TAMANHO 5]