Equacoes

Notas de Aula de Cálculo Numérico. c Departamento de Computação/ICEB/UFOP, 2012.

Equações Algébricas e Transcendentes
Marcone Jamilson Freitas Souza, Departamento de Computação, Instituto de Ciências
Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, 35400-000 Ouro Preto, MG,
Brasil. E-mail: [e-mail]

1

Introdução

O objetivo deste capítulo é o de apresentar métodos numéricos para resolver uma equação f (x) = 0.
Resolver uma equação f (x) = 0 significa encontrar números ξi , denominados raízes, tais que f (ξi ) = 0. Geometricamente, conforme mostra a Figura 1, as raízes representam os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox. y f

ζ

1

ζ2

ζ

x
3

Figura 1: Raízes de uma equação

2

Fases na determinação de raízes

A determinação de raízes envolve as seguintes fases:

2.1

Fase I - Isolamento

Nesta fase o objetivo é o de determinar um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma única raiz.
Para cumprir este objetivo os métodos que apresentaremos a seguir apoiam-se em dois resultados do Cálculo Diferencial e Integral.
Teorema de Cauchy-Bolzano Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b]. Se f (a) × f (b) < 0 então existe pelo menos um ponto ξ ∈ [a, b] : f (ξ) = 0.

2

Marcone Jamilson Freitas Souza

Resultado 2 Se f preservar o sinal em [a, b] e o Teorema de Cauchy-Bolzano for verificado neste intervalo então a raiz ξ é única.
Assim, para isolarmos as raízes de uma equação f (x) = 0 comumente utilizamos um dos seguintes procedimentos:
Procedimento I:
Esboçar o gráfico de f , determinando intervalos [xi , xi+1 ] que contenham uma única raiz.
Este objetivo pode ser cumprido gerando-se uma tabela de pontos (xi , f (xi )), onde os pontos inicial e final, bem como o valor do passo considerado (xi+1 − xi ), dependerão do problema considerado e da experiência do usuário.
Exemplo: Isolar as raízes de f (x) = 2x − cos x = 0.
Inicialmente, geremos uma tabela de pontos xi , f (xi ). xi ..
.
-2
-1
0
1
2
..
.

f (xi )
..
.
-3.58