Equacoes Nao Lineares

3 – Métodos Numéricos para a resolução de equações não lineares

Em muitos problemas científicos nos deparamos com equações não lineares na quais desejamos ter suas raízes para solucionar problemas. São raros os casos em o tratamento algébrico permite a determinação das incógnitas. Existe uma infinidade de métodos numéricos capazes fazerem boas aproximações dessas raízes.

3.1 – Aspectos Gerais.
Se considerarmos a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cujo gráfico para 𝑥 ∈ [−5,5] está representado abaixo. y





 x 






















Quando falamos em raiz da função, falamos no valor de 𝑥 em que 𝑓(𝑥) = 0. Assim as raízes de uma função são as incógnitas da equação 𝑓(𝑥) = 0.
Tendo em vista a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) no intervalo 𝑥 ∈ [−5,5] percebemos por seu gráfico a existência de três raízes, que podem ser facilmente determinadas de forma algébrica.
𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 → 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0
𝑠𝑒(𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −𝜋
Portanto o conjunto solução da equação 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 no intervalo 𝑥 ∈ [−5,5] é 𝑆 =
{−𝜋, 0, 𝜋}.
Os métodos numéricos, que iremos estudar, determinam uma solução em um determinado intervalo, por exemplo, partimos do fato, visualizado no gráfico, de que existe uma raiz para a função entre no intervalo [3,4].

Teorema
Se uma função f(x) contínua assume valores com sinais opostos nos extremos de um intervalo
[a, b], isto é 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0, então é possível afirmar que existe pelo menos uma raiz para essa função no intervalo ]a,b[.
Exemplo: verifique que existe uma raiz para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) no intervalo [−4, −3].
3.2 – Método da Bissecção
Vamos considerar a função 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 − 1 no intervalo 𝑥 ∈ [−5,5] com representação gráfica abaixo y 




 x 






















Mostre que a função 𝑓(𝑥) possui raiz no intervalo [0,1].
O método da Bissecção consiste na aproximação da solução tomando a média dos extremos do intervalo que contém a solução.
Para a