Equa Es Diferenciais Ordin Rias

˜ es Diferenciais
Equac
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Ricardo M. S. Rosa

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y x x

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S

15 t 40

3

0 x −3

IM - UFRJ
Agosto de 2009

x

N
S

Sum´ ario Pref´acio

5

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao a`s Equa¸c˜oes Diferenciais
1. Introdu¸c˜ao e modelos simples
2. Solu¸c˜oes gerais e particulares e resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes separ´aveis

7
7
21

Cap´ıtulo 2. Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes de Equa¸c˜oes de Primeira Ordem
1. Existˆencia de solu¸c˜oes e m´etodos de Euler e de Picard
2. Unicidade e n˜ao-unicidade em rela¸c˜ao a`s condi¸c˜oes iniciais

33
33
39

Cap´ıtulo 3. Equa¸c˜oes de Primeira Ordem - Aspectos Geom´etricos
1. *Is´oclinas e o estudo geom´etrico de equa¸c˜oes n˜ao-autˆonomas
2. Equa¸c˜oes autˆonomas e linhas de fase
3. Outros aspectos de linhas de fase
4. Equivalˆencia qualitativa e bifurca¸c˜oes unidimensionais

47
47
53
63
77

Cap´ıtulo 4. Equa¸c˜oes de Primeira Ordem - Solu¸c˜oes Expl´ıcitas
1. Solu¸c˜oes expl´ıcitas via separa¸c˜ao de vari´aveis
2. Equa¸c˜oes homogˆeneas - transforma¸c˜ao em equa¸c˜oes separ´aveis
3. Equa¸c˜oes exatas
4. Fatores de integra¸c˜ao e equa¸c˜oes lineares

89
89
92
94
100

Cap´ıtulo 5. Equa¸c˜oes de Segunda Ordem - Solu¸c˜oes Expl´ıcitas
111
1. Redu¸c˜ao de ordem e aplica¸c˜oes
111
2. Equa¸c˜oes lineares homogˆeneas com coeficientes constantes
117
3. Equa¸c˜oes lineares n˜ao-homogˆeneas com coeficientes constantes
129
4. *Sistema completo de solu¸c˜oes, Wronskiano e o m´etodo de varia¸c˜ao de constantes140
Cap´ıtulo 6. Sistemas Bidimensionais Lineares
1. Introdu¸c˜ao
2. Diagrama de fase nos casos canˆonicos
3. Diagrama de fase no caso geral e classifica¸c˜ao de sistemas
4. *Exponencial de matrizes e solu¸c˜oes de sistemas autˆonomos
5. *Sistemas lineares n˜ao-homogˆeneos n˜ao-autˆonomos

147
147
154
162
178
181

Cap´ıtulo 7. Sistemas Bidimensionais N˜ao-Lineares
1. Introdu¸c˜ao

185
185

3

´
SUMARIO

4

2. Pontos fixos e lineariza¸c˜ao
´
3. Orbitas regulares 187
194

Cap´ıtulo 8. Sistemas