Equaçoes diferenciais ordinarias - um estudo sobre aplicações

Páginas: 19 (4581 palavras) Publicado: 4 de outubro de 2011
Introdução
As Equações Diferenciais são objeto de intensa pesquisa, pois apresentam aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações na Engenharia, Economia, Biologia e até mesmo em Psicologia, onde freqüentemente procuramos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema físico ou algum fenômeno em termos matemáticos (ZILL e CULLEN; 2001). Qualquer equação contendoderivadas ou diferencias de uma ou várias variáveis dependentes, em relação a uma única ou a várias variáveis independentes, é chamada Equação Diferencial. Neste trabalho abordamos especificadamente as chamadas Equações Diferenciais Ordinárias, as quais apresentam derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma única variável independente. Essas equações, em geral, surgemà necessidade de formular, descrever e modelar certos problemas físicos, químicos e biológicos, construindo uma modelagem matemática do problema. Dentre as derivadas ordinárias, estudamos as aplicações de primeira ordem. Como citado, quando falamos em Equações Diferenciais, sugerimos a resolução de algum tipo de equação contendo derivadas. O estudo dessas equações é similar ao estudo do CálculoIntegral. Quando calculamos uma integral indefinida, por exemplo, utilizamos métodos apropriados e uma única constante de integração. De modo análogo, na resolução de uma Equação Diferencial Ordinária, serão necessários alguns conhecimentos prévios de técnicas e métodos para encontrar sua solução, como apresentamos nos capítulos seguintes.
Este trabalho tem por motivação a curiosidade pelasaplicações e a pretensão de apresentar um tema que geralmente não é abordado em cursos tradicionais de Licenciatura em Matemática, tal como o estudo das Equações Diferencias. Devido à grande importância desse assunto na ciência e tecnologia atual, temos por objetivo estudar os modelos dessas equações de primeira ordem em diversificadas áreas, bem como apresentar alguns de seus teoremas e algumas desuas aplicações. É muito importante que você leitor, futuro engenheiro, cientista, físico ou biólogo, se interesse pelo estudo deste assunto. A justificativa é muito simples: as Equações Diferenciais Ordinárias servem de suporte matemático para grandes áreas da ciência como economia, psicologia, física, engenharia, biologia entre outras. O estudo do comportamento destas equações merece extremaimportância, pois o número de aplicações e modelos matemáticos envolvendo estas equações na ciência vem crescendo constantemente. Já existem no Brasil, projetos de uma Máquina de Diálise ou Dialisador para tratar problemas de rim, por exemplo. Conforme explica SIMMONS e KRANTZ (2008), quando os rins funcionam mal, o material residual pode aumentar para níveis perigosos e tornar-se venenoso para osistema. Os médicos usam a máquina de diálise para ajudar os rins no processo de limpeza. Primeiramente, o sangue escoa do corpo do paciente para a máquina. Existe um fluido de limpeza (dialisato) que escoa através da máquina em direção oposta a do sangue. O sangue e o dialisato são separados por uma membrana semipermeável. Esta, tem poros minúsculos que não permitem a passagem do sangue, maspossibilitam a passagem dos produtos residuais. O projeto de uma máquina como esta diz respeito à taxa de escoamento do material residual através da membrana e da dependência de algumas variáveis, problema modelado por uma Equação Diferencial.
Em virtude do extenso campo de aplicações destas equações, apresentamos neste trabalho algumas delas, mais relacionadas à Física, à Química e à Engenharia. Utilizamosas Equações Diferenciais de 1ª Ordem na modelagem e resolução de problemas como dinâmica populacional- crescimento logístico e exponencial, datação do carbono-14, decaimento radioativo, resfriamento dos corpos segundo Newton, resistência em fluidos, Circuitos Elétricos e o modelo Predador-Presa de Lotka Volterra. Embora a ênfase maior da nossa pesquisa sejam as aplicações das equações em si,...
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