Equações recorrentes

Páginas: 25 (6119 palavras) Publicado: 22 de abril de 2013
Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecânica – Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Julho 2006

Equações Recorrentes
Introdução Dada uma seqüência numérica, muitas vezes queremos determinar uma lei matemática, que relaciona um termo qualquer com a sua posição na seqüência. Por exemplo, numa seqüência (a1 , a2 , a3 ,..., an ) , ai representa i-ésimo termo e é natural quese queira relacioná-lo com o valor de i. Entende-se por termo geral da seqüência, a expressão que relaciona o valor do n-ésimo termo, com a sua respectiva posição “n” na seqüência. Segue alguns exemplos de seqüência e os seus respectivos “termos gerais”: (1, 2,3, 4,..., n) ⇒ ak = k

(1, 2, 4,8,...) ⇒ an = 2n −1 Em certas situações não se conhece de forma explícita, a lei de formação (ou termogeral) da seqüência apresentada, porém pode ser razoável relacionar um termo qualquer com alguns termos anteriores. Veja alguns exemplos: (0,1,1, 2,3,5,8, ...) ⇒ an = an −1 + an − 2 , ou seja, um determinado termo é a soma dos dois termos anteriores. (1, 4, 7 ,10,13,...) ⇒ an = an −1 + 3 , ou seja, um determinado termo é o anterior “mais 3”. Essas equações que envolvem termos da seqüência são chamadasde equações recorrentes, pois para se determinar certo termo, se recorre a termos anteriores, previamente determinados. Esse artigo tem por objetivo mostrar técnicas para a manipulação de algumas equações recorrentes particulares.
Classificação de equações recorrentes

Há infinitas formas de equações recorrentes. Veja abaixo uma equação recorrente que denota um caso mais geral de representação deequações recorrentes.

λn an + λn −1an −1 + ... + λ1a1 + λ0 a0 = g (k )

(I)

Na equação λk podem ser constantes, termos dependentes de “k” ou ainda termos dependentes de outros termos da seqüência, ou seja, pode-se dizer que λk = f (k , ak , ak −1 ,..., a1 , a0 ) . g (k ) é uma função, discreta, dependente da variável “k” e ak ( 0 ≤ k ≤ n) são termos da seqüência em questão. As equaçõesrecorrentes serão classificadas de acordo com a forma de λk e g (k ) . 1º) λk = f (k ) ⇒ Trata-se de uma equação linear de coeficientes variáveis 2º) λk = cte complexa ⇒ Trata-se de uma equação linear de coeficientes constantes. 3º) λk = f (k , ak , ak −1 ,..., a1 , a0 ) ⇒ Trata-se de uma equação não linear. Sendo dessa maneira, haverá temos que serão potências de ak , ou ainda termos “cruzados” (comoexemplo ak .ak −1 ).

Artigo produzido por Filipe Rodrigues de Souza Moreira

4º) g (k ) ≠ 0 ⇒ Equação recorrente não homogênea. 5º) g (k ) = 0 ⇒ Equação recorrente homogênea. Nesse artigo serão mostradas técnicas para manipulação de equações lineares e de coeficientes constantes. Algumas propriedades de soluções de equações recorrentes

Como dito no item acima, as equações de estudo serão aquelasque são de coeficientes constantes e lineares. Seja a equação λn an + λn −1an −1 + ... + λ1a1 + λ0 a0 = 0 (II) em que λk ∈ . Vamos enunciar algumas propriedades relacionadas à esse tipo especial de equação recorrente.
P1) Se an e bn são soluções de uma dada equação recorrente como a equação (II) então o termo geral da seqüência dada por vn = an ± bn também é solução: Prova: λn vn + λn −1vn −1 + ...+ λ1v1 + λ0v0 = 0 ⇒ ⇒ λn (an ± bn ) + λn −1 (an −1 ± bn −1 ) + ... + λ1 (a1 ± b1 ) + λ0 (a0 ± b0 ) = 0 ⇒ ⇒ λn an ± λn bn + λn −1an −1 ± λn −1bn −1 + ... + λ1a1 ± λ1b1 + λ0 a0 ± λ0b0 = 0 ⇒
= 0, pois an e soluçao = 0, pois bn e soluçao 644444 7444444 6444447444448 4 8 4 4 ⇒ ( λn an + λn −1an −1 + ... + λ1a1 + λ0 a0 ) ± ( λn bn + λn −1bn −1 + ... + λ1b1 + λ0b0 ) = 0

Logo a expressão proposta vn = an± bn é solução de (I).
P2) Se an é solução de uma dada equação recorrente como a equação (II) então a expressão recorrente dada por vn = kan também é solução, em que k é um escalar: Prova: λn vn + λn −1vn −1 + ... + λ1v1 + λ0v0 = 0 ⇒ ⇒ λn (kan ) + λn −1 (kan −1 ) + ... + λ1 (ka1 ) + λ0 (ka0 ) = 0 ⇒
= 0, pois an e soluçao 644444 7444444 4 8 ⇒ k ( λn an + λn −1an −1 + ... + λ1a1 + λ0 a0 ) = 0...
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