Equações diferencias

Páginas: 59 (14578 palavras) Publicado: 8 de agosto de 2012
Universidade Federal de Pelotas - UFPEL Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Valdecir Bottega Revisão Integrais
Integral Indefinida
Antiderivada Exemplo: Qual é a função cuja derivada é a função F x  2x ? A função F é chamada uma antiderivada de F . Definição: f x  x 2 , pois d x 2  2x dx

Uma antiderivada da função f é uma função F tal que F x fx em todo ponto onde f x é definida.Observação: Sabemos que F x  x 3 é uma antiderivada de F x  3x 2 , assim como: G x  x 3  1 e H x  x 3 5. Na verdade, qualquer função do tipo J x  x 3  C é antiderivada de F x . Teorema: Se F x  f x em todo ponto do intervalo aberto I, então toda antiderivada G , de f em I, tem a forma G x  F x C onde C é uma constante. Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas asantiderivadas da função F x é chamada integral indefinida (ou antidiferencial) de f com relação a x e denotada por Þ f x dx.

Þ f x dx  F x  C
A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear:

Þ cf x dx  c Þ f x dx (onde c é uma constante)
e

Þfx

g x dx  Þ f x dx

Þ g x dx

A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nospermite obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação. 1

FÓRMULAS:

Þ x n dx 

1 n1

x n1  C ( n

1) Þ sec x tan xdx  sec x  C

Þ dx  x  C Þ cos xdx  sin x  C Þ sin xdx  cos x  C Þ sec 2 xdx  tan x  C Þ csc 2 xdx  cot x  C

Þ csc x cot xdx  csc x  C
sin 2 x  cos 2 x  1 1  tan 2 x  sec 2 x 1  cot 2 x  csc 2 x

Exercícios: 1) Faça osexercícios do Leithold, pág. 294, 3 a edição, do n o 1 até o n o 21 (ímpares) e do n o 29 até o n o 35. Integração por Substituição: Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso da substituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na diferenciação. Iniciaremos recordando a Regra da Cadeia da diferenciação.Seja a função y  f g x com y  f u e u  g x funções diferenciáveis. Para calcular y devemos utilizar a Regra da Cadeia e obteremos:  f g x .g x  f u .u y  d fgx dx Exemplo: 3 Derive a função composta y  x 2  3 : Seja u  x 2  3 . Então y  u 3 Utilizando a Regra da Cadeia, obtemos: y  3u 2 . u  3u 2 . x 2  3  3. x 2  3 2 . 2x Teorema: Sejam f e g duas funções tais que f g e g sãocontínuas em um intervalo I. Se F é uma antiderivada de f em I, então:

Þ f g x g x dx  F g x
Ex.1: Calcule Þ x 2  1 4 xdx: Resp:
1 10

C

x2  1
1 3

5

C

Ex.2: Calcule Þ cos 3x  1 dx : Resp.: Exercícios: 1:Calcule Þ e cosx sin xdx. 2: Calcule Þ cos 3x  1 dx . 3: Calcule Þ 2x 1 dx. x2 x 4: Calcule Þ 23x dx. x 5 5: Calcule Þ e 2x1 dx.

sin 3x  1  C

Resp.: e cosx  C Resp.:
13

sin 3x  1  C x|C 5|C 2 ln|x 2

Resp.: ln|x 2 Resp.: Resp.:
3 2 1 2

e 2x1  C

6: Calcule Þ xe x dx. 7: Calcule Þ tdt t3
2

Resp.: Resp.:

1 2

ex  C
2 3

2

t3

3

6

t3 C

Integrais que resultam na função logarítmica natural: Seja u uma função diferenciável de x : 1. Þ 1 dx  ln|x|  C 2. Þ 1 dx  ln|u|  C x u Exemplo 1: Calcule Þ 2x x2 1 dx x Exemplo2: Calcule Þ 3x dx x2 5

A Integral Indefinida da Função Exponencial Natural:

Þ e x dx  e x  C e Þ e u dx  e u  C
Exemplo 1: Calcule Þ e 2x1 dx :

Integração por partes:
Teorema: Se u e v são funções de x com derivadas contínuas, então

Þ udv  uv Þ vdu
Ex.1: Þ xe x dx . Resp.: xe x ex  C
3 Ex. 2: Þ x 2 ln xdx . Resp.: x ln x 3

x3  C 9

OBS.: Uma integral pode necessitarde aplicações repetidas da fórmula de integração por partes. Ex. 4: Þ x 2 sin xdx . Resp.: x 2 cos x  2x sin x  2 cos x  C Exercícios: 1) Þ xe 2x dx,

2) Þ xe x dx,
2

3) Þ xe 8) Þ
lnx x

2x
2

dx,

4) Þ x 3 e x dx, 5) Þ x 3 ln xdx

6) Þ t ln t  1 dt, 7) Þ ln x 2 dx,

dx. 3x 2  6x 6  c,

Respostas: 2x x2 1) e 2x 1  c, 2) e  c, 3) - 12x 2x  1  c, 4) e x x 3 4 2 4e x...
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