Equações Diferenciais Ordinárias

Páginas: 8 (1804 palavras) Publicado: 9 de abril de 2014
Universidade Federal de Pelotas
Engenharia Geológica
Cálculo Operacional











EQUAÇÕES DIFERECIAIS E SISTEMAS DE CONTROLE

MODELAGEM E ANÁLISE DE UM SISTEMA MECÂNICO SIMPLES








Alunos:

Caroline dos Santos Tabelião – karol-t@hotmail.com
(nº de matrícula 1)
Aluno 2 – email2
(nº de matrícula 2)
Aluno 3 – email3
(nº de matrícula 3)





Professor:Tiago Dziekaniak Figueiredo





Pelotas, 19 de Março de 2014.
Sumário




1. Introdução

A crescente demanda por tecnologia em virtude da busca por melhoria na qualidade de vida humana através da engenharia se faz constante. Para tornar possível a automatização de processos simples como manter constante a temperatura do ambiente onde estamos até o controle altamente automatizado eseguro de uma estação espacial, devemos empregar alguma das teorias de sistemas de controle.
Denomina-se sistema de controle um conjunto de instrumentos que realizam medições a fim de tomar decisões de gerência a uma unidade ou grupo de dispositivos.

A modelagem matemática é uma ferramenta essencial aos sistemas de controle, assim o emprego dessa é realizado a fim de representar e analisara dinâmica de um sistema com precisão ou, pelo menos, razoavelmente bem. Por exemplo, a dinâmica de muitos sistemas mecânicos, elétricos, biológicos, econômicos e biológicos pode ser definida em termos de equações diferenciais. Através das leis que governam um sistema obtemos o conjunto de ED’s que o descreve – tal como as leis de Newton para sistemas mecânicos. Na obtenção de uma modelagemrelativamente simplificada, torna-se necessária a desconsideração de algumas propriedades físicas do sistema, porém faz-se necessária uma conciliação entre a simplicidade do modelo e a precisão do mesmo. Assim, quando desejarmos um modelo com parâmetros concentrados – ou seja, empregando somente equações diferenciais ordinárias – deveremos desprezar certas não linearidades do sistema, desde que essasimpliquem em efeitos desprezíveis na resposta final do sistema.

Visto que a modelagem matemática de um processo mecânico pode ser parte do projeto de um sistema de controle, o trabalho que segue realiza a modelagem através das equações diferenciais ordinárias e faz uma análise bastante completa de um sistema mecânico sujeito a uma força de excitação. Pretendemos, assim, explorar os efeitosgerados na resposta pelos parâmetros de constituição de um sistema massa-mola-amortecedor e pela força de excitação do mesmo.

2. Modelagem de um Sistema Mecânico

O Sistema Massa-Mola-Amortecedor:

Nesta seção, desenvolvemos a modelagem matemática de um sistema massa-mola-amortecedor sujeita a uma força F. Observamos que a modelagem considerará que o sistema é linear e invariante no tempo, ouseja, o sistema será composto apenas por parâmetros concentrados e invariantes no tempo. No caso de levarmos em consideração que uma distensão extrema da mola traria mudanças em suas propriedades físicas (nesse caso, sua constante de elasticidade) teríamos um sistema não linear, pois, como vamos ver, a força exercida pela mola é uma função linear de sua distensão em relação ao seu estado derepouso que é proporcional à sua constante de elasticidade.









Figura 1: Sistema massa-mola-amortecedor

A figura 1 mostra o sistema a ser modelado e analisado, onde as constantes e variáveis, em um dado instante de tempo, são designadas por

: deslocamento em relação ao estado de repouso da mola
: massa do bloco
: constante elástica da mola
: constante de amortecimento dosistema

Segundo a lei de Hooke, a força que a mola exerce sobre o bloco é diretamente proporcional à sua distensão em relação à sua posição de repouso. Assim, definimos a força exercida pela mola por



(1)

Ainda, uma força mecânica de amortecimento (que representa as forças de atrito entre o bloco e o solo, o bloco e o ar e/ou fluido viscoso) é diretamente proporcional à velocidade que o...
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