Equações diferenciais de 1ª ordem.

Páginas: 3 (731 palavras) Publicado: 21 de maio de 2012
Equações Diferenciais de Primeira Ordem


Equação diferencial de primeira ordem é da forma:

[pic]

Se g(x) é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem

[pic] (1)Pode ser resolvida por integração. A solução é


[pic]




Equação Separável








Definição – Equação Separável


Uma equação diferencial da forma

[pic]

é chamada deseparável ou tem variáveis separáveis.

Observe que uma equação separável pode ser escrita como

[pic] (2)

É imediato que (2) se reduz a (1) quando h(y) = 1.

Agora, se y = f (x)denota uma solução para (2), temos

[pic]
logo,

[pic]

Mas dy = f´(x)dx, a eq. acima é o mesmo que

[pic]


Equação Homogênea


Definição – Função Homogênea
[pic]

Se uma função fsatisfaz



[pic]
Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.


Definição – Equação Homogênea



Uma equação diferencial da forma


[pic]é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.




Método de Solução


Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de umasubstituição algébrica. Especificamente, a substituição y = ux ou x = vy, em que ‘u’ e ‘v’ são novas variáveis independentes, transformará a equação diferencial de primeira ordem separável . Para ver isso,seja y = ux; então, sua diferencial dy = u dx + x du. Substituindo na eq. Homogênea, temos


[pic]



Equação Exata






Definição – Equação Exata




Uma expressão diferencial[pic]


é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f (x, y). Uma equação diferencial da forma


[pic]


é chamada de umaequação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.


Teorema – Critério para uma diferencial exata


Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas com derivadas...
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