Equação polinomiais

Páginas: 5 (1052 palavras) Publicado: 22 de março de 2012
Equação polinomial
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Em matemática, Equações polinomiais monovariáveis são equações da forma:

onde é a incógnita, o número é chamado o grau da equação e os coeficientes são números reais, complexos ou, mais geralmente falando, elementos de certo anel dados.
Resolver a equação consiste em encontrar quais são os elementosque tornam a equação verdadeira. Estes elementos são chamados soluções da equação polinomial
Exemplos
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a equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Exemplo 1

Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0

Se 2 é raiz da equação, então temos:

2(2)4+ k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0 
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1
k = 1/8 
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.

Exemplo 2

Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0.

Temos que:

m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m+ 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19
m = 1

O valor de m é 1. 
Números Complexos, uma abordagem histórica
 
A questão central desta página é "Como surgiram os Números Complexos?".
A maioria das pessoas, quando confrontadas com esta questão responde que surgiram para resolver as equações de 2º grau da forma x2 + a = 0, a > 0. No entanto, esta ideia estáerrada!
A abordagem aprofundada aos números complexos, apesar de ter sido feita a partir do séc. XVIII, foi mencionada levemente por outros matemáticos anteriores à data. No entanto, dada a incompreensão e o desconhecimento destes números, tais matemáticos abandonaram o seu estudo.
O primeiro matemático de que se tem conhecimento de se ter deparado com um problema que envolvia números complexosfoi Héron de Alexandria (séc. I dC) no livro Stereometrica. Este pretendia resolver 


Por volta do ano 275 dC, Diophanto (200-284 aprox.) ao resolver um problema deparou-se com a equação
24x2 - 172x + 336 = 0
Como concluiu que não tinha soluções reais, não viu necessidade de dar sentido à raiz
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm26
Bhaskara (1114-1185 aprox.), um dos indianosque mais perto chegou das ideias da álgebra moderna (conhecia a regra "menos por menos dá mais", trabalhava com coeficientes negativos, etc.) reconhecia que a equação x2 - 45x = 250 era satisfeita por dois valores x = 5 e x = -5 mas, dizia que não considerava a segunda pois as pessoas não "apreciavam" raízes negativas.
Gerônimo Cardano (1501-1576) considerava que o aparecimento de raízesquadradas de números negativos na resolução de um problema indicava que o mesmo não tinha solução. No entanto, foi Cardano que, em 1545, mencionou pela primeira vez os números complexos. Na sua obra Ars Magna de Cardano, falava do seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40". Para tal, considerou as expressões 5 + 15 e 5 - -15. Cardano ficou por aqui, não dandosignificado a estas expressões, pondo de lado a "tortura mental" envolvida mas, teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até porque neste tempo os números negativos eram evitados.
A partir disto é possível derrubar a ideia errada de que os números complexos surgiram com as equações do segundo grau. Os números complexos apareceram sim, a partir das equações de terceiro grau.
Mas, forampreciso cerca de 25 anos para este tema ser de novo considerado, por  Raffaelle Bombelli (1526-1572) numa obra de nome Algebra.
Ao resolver a equação x3 = 15x + 4, Bombelli utilizou a "fórmula de Cardano" obtendo a seguinte solução (em notação moderna):
 x = 3(2 + -121) + 3(2 - -121)
Ele achou estranho este resultado porque conhecia todas as raízes da equação, entre as quais      x = 4....
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