Equação linear

Páginas: 6 (1334 palavras) Publicado: 22 de abril de 2012
Equação linear

São equações lineares:

a) 5x + 3y = 6

b) x - y - z + t + p = 4

c) 5x - 4y = 0

d) 3a + 4b - 5c = 6

Não são equações lineares:

a) x + 4y - 3zw = 0 (produto de duas incógnitas)

b) 1/x + 4/y - z = 3 (0 expoente de x e de y é -1)

c) 3a - 4b - [pic] = 3 (o expoente da variável c é 1/2)

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR:
Uma equação linear admite infinitassoluções.

Exemplo: Seja a equação linear x - 2y = 4. Esta equação admite como solução os pares: (6,1); (0,-2); (4,0), ...; e infinitos outros que obedeçam a relação: x = 4 + 2y. Portanto a cada novo valor atribuído a y temos o correspondente x. A solução que representa as infinitas soluções pode ser representada da forma: S = {(4 + 2y; y)}. Y é dito, neste caso variável livre.




Para que umaequação seja considerada uma equação linear deverá ser escrita da seguinte forma geral: 

a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b 

Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos a1, a2, a3, ... an são coeficientes das incógnitas x1, x2, x3, ... , xn e o termo b é o termo independente (valor numérico da equação linear). 
O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assumavalor igual a zero a equação linear será homogênea. 

Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade 
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b deve ser verdadeira. 

Veja um exemplo de quando um conjunto é solução de umaequação linear. 

Exemplo: 
Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas. 

-2 . 0 + 1 + 5 . 2 = 11 
0 + 1 + 10 = 11 
11 = 11, como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1, 10) é solução da equação -2x + y + 5z = 11 Notações importantes sobre a equação linear: 
• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá solução. 
• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer valor real no seu conjunto solução. 

Exemplo: 
Calculepara que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da equação 
3x + 5y – mz + t = 0 

Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da equação: 

3 . 1 + 5 . 2 – m . (-3) + 5 = 0 
3 + 10 + 3m + 5 = 0 
13 + 3m + 5 = 0 
3m + 18 = 0 
3m = -18 
m = -18 : 3 
m = -6 
Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação, m deverá assumir valorigual a -6.

1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES:

1) equações lineares, nas incógnitas x(É o conjunto de m (m 1, x2, x3, ..., xn.

OBS:

Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial.

Portanto as operações elementares sobre linhas das matrizes, serão utilizadas para a resolução de sistemas lineares.

EXEMPLO:

Seja o sistema linear: [pic]

FORMAMATRICIAL: [pic]. [pic] = [pic]

MATRIZ INCOMPLETA: [pic]

MATRIZ COMPLETA (ou Matriz Ampliada): [pic]

Onde a primeira coluna é formada pelos coeficientes da variável x, a segunda coluna pelos coeficientes da variável y; a terceira pelos coeficientes da variável z e, a quarta coluna são os termos independentes.

TEOREMA: Toda matriz Amxn é linha-equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada.DEFINIÇÃO: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida à forma escada equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. Este número é o posto de A. A nulidade é a diferença entre colunas de A e o posto.

TEOREMA:

1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da...
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