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Cinemática de um elemento de volume diferencial[editar | editar código-fonte]
Como preparação para obter as equações básicas em forma diferencial, é preciso em primeiro lugar desenvolver formas de descrever o comportamento de um elemento de volume diferencial, ou microscópico, em oposição ao elemento de volume macroscópico usado quando se aplicam as equações em sua forma integral. Descrevem-se abaixo os efeitos de translação, rotação e deformação a que um tal volume está sujeito. Em oposição, o elemento de volume macroscópico é escolhido cuidadosamente de forma que esses efeitos estejam ausentes ou que pelo menos possam ser descritos muito facilmente.

Aceleração linear de um elemento de volume em um campo de velocidades[editar | editar código-fonte]
Um elemento de volume δV imerso em um campo de velocidades está sujeito, evidentemente, em primeiro lugar a uma translação ao longo desse campo. A aceleração linear será dada por

\vec a_{\delta V} \;=\; \frac{d \vec v_{\delta V}}{dt}

A velocidade do volume δV (vδV) não coincide, em geral, com a velocidade v do fluxo. Por isso, é preciso escrever (escolhendo coordenadas cartesianas)

\vec v_{\delta V} \;=\; \vec f(x,y,z,t) \Rightarrow \;\;\; \vec a_{\delta V} \;=\; \frac{d \vec f}{dt} \;=\; \frac{\partial \vec f}{\partial x} \frac{dx_{\delta V}}{dt} \;+\; \frac{\partial \vec f}{\partial y} \frac{dy_{\delta V}}{dt} \;+\; \frac{\partial \vec f}{\partial z} \frac{dz_{\delta V}}{dt} \;+\; \frac{\partial \vec f}{\partial t} \frac{dt}{dt}

\vec a_{\delta V} \;=\; \frac{\partial \vec f}{\partial x} (\vec v_{\delta V} \cdot \vec u_x) \;+\; \frac{\partial \vec f}{\partial y} (\vec v_{\delta V} \cdot \vec u_y) \;+\; \frac{\partial \vec f}{\partial z} (\vec v_{\delta V} \cdot \vec u_z) \;+\; \frac{\partial \vec f}{\partial t} \;=\; (\vec v \cdot \nabla) \vec v \;+\; \frac{\partial \vec f}{\partial t}

onde ux, uy e uz são os vetores unitários nas direções dos eixos coordenados (X,Y e Z) e xδV, yδV e zδV,