Engenheiro e advogado

- C´lculo 1: Lista de exerc´ a ıcios 4 - Derivadas
1. Para cada fun¸˜o f dada, calcule a derivada indicada: ca (a) f (x) = −6x5 + 3x4 − 5x − 2, (b) f (x) = senx,
1 (c) f (x) = x , d37 y dx37 ; dn y dxn ; d25 y dx25 ;

2. Determine a derivada de ordem n de y = ln x. 3. Derive: (a) y = arctan(arcsenx); (b) y = ln(secx + tgx); √ (d) y = arcsen( 1 − x2 ); (e) y = arcsen(e2x − 1). 4. Determine para quais valores de x cada fun¸˜o a seguir est´ definida: ca a a) y = arcsen(2x + 1) b) y = arccos(ex 5) c) y = arctg(3x + 2) (c) y = xx ;

5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada fun¸˜o a seguir: ca a) y = 3x4 − 16x3 + 18x2 b) y = x3 − 3x2 + 1.

6. Determine os pontos cr´ ıticos de cada fun¸˜o a seguir: ca a) y = x3 + x2 − x b) f (x) = x+1 x2 +x+1

c) y = x2/3

d) y = x2/5

7. Determine, se existirem, os valores m´ximos e m´ a ınimos de cada fun¸˜o a seguir, no intervalo indicado: ca √ a) y = x3 − 3x + 1, [0, 3] b) y = (x2 − 1)3 , [−1, 2] c) g(t) = t 4 − t2 , [−1, 2] [ π π] x −x d) y = x − 2senx, − 2 , 2 , e) y = e −e , (−∞, +∞) f) y = x3 − 3x + 1, na reta. 2 Respostas: 1. (a) 2. d25 y dx25

= 0;
(−1)n−1 (n−1)! xn

(b)

d37 y dx37

= cosx,

(c)

dn y dxn

=

(−1)n n! xn+1

dn ln x dxn

=

3. (a) y ′ =

1 √ ; (1+arcsen2 x) 1−x2

(b) y ′ = secx; (c) y ′ = xx (1 + ln x); (d) y ′ = − |x|√x 2 1−x (e) y ′ = √
2e2x 1−(e2x −1)2

4. (a) − 1 ≤ x ≤ 0;

(b) ln 4 ≤ x ≤ ln 6,

(c) − ∞ < x < +∞

5. (a) Cresce para 0 < x < 1 e 3 < x < +∞, decresce para −∞ < x < 0 e 1 < x < 3. (b) Cresce para −∞ < x < 0 e 2 < x < +∞, decresce para 0 < x < 2. 6. (a) x = −1 e x = 1/3; (b) x = −2 e x = 0; (c) x = 0; (d) x = 0.

7. (a) M´ximo: y = 19 em x = 3; M´ a ınimo: y = −1 em x = 1; (b) M´ximo: y = 27 em x = 2; M´ a ınimo: y = −1 em x = 0; √ √ (c) M´ximo: g = 2 em t = 2; M´ a ınimo: g = − 3 em t = −1; √ √ (d) M´ximo: y = 3 − π em x = − π ; M´ a ınimo: y = − 3 + π em x = 3 3 3 (e) N˜o tem m´ximo nem m´ a a ınimo em −∞ < x < ∞; (f)