Engenheiro Mecânico

Páginas: 7 (1572 palavras) Publicado: 3 de outubro de 2014
UFSC – Universidade Federal de Santa Catarina
CTC – Centro Tecnológico
EMC – Departamento de Engenharia Mecânica
EMC5140 – Controle de Vibrações

Sistema Discreto de Múltiplos GL

Fabio Tashima

Florianópolis
Julho/2012

Introdução
Os objetivos do trabalho são determinar as matrizes de rigidez, de massa e
de amortecimento para uma estrutura em aço 1020, similar a um prédio dequatro
andares, como mostrado abaixo.

Além disso, devem-se calcular as frequências naturais e as formas modais
do sistema. O espectro de magnitude da resposta (velocidade) na faixa de
frequência de 0 a 100Hz (Δf=0,2Hz) no terceiro e quarto andares da estrutura
quando uma força unitária é aplicada no terceiro andar, ou seja, simulando a
instalação de um equipamento nesse andar, também deve serdeterminado.
Por último, deve-se determinar o melhor andar para instalar o equipamento
para que se tenha o menor nível de vibração no quarto andar, no caso de o
equipamento ser uma máquina rotativa que irá funcionar em 3200rpm e propor
pelo menos duas alterações no sistema para reduzir ainda mais o nível de vibração
no quarto andar.
O comportamento dinâmico da estrutura pode ser representadopor um
sistema de quatro GL (graus de liberdade), onde os GL são os movimentos da
estrutura (direção x) de cada andar.
Assume-se que os andares não se deformam durante o movimento da
estrutura (corpos-rígidos), sendo que apenas as paredes laterais são deformadas e
que a estrutura encontra-se engastada em sua base.

Modelo Analítico e Resultados
Primeiramente, alguns dados importantes paraa análise serão obtidos.
O momento de inércia das paredes pode ser calculado por:

I=

b. e3 0,1. 0,0023
=
= 6,67. 1011 m4
12
12

Como o material das paredes é o aço 1020, o qual possui módulo de
elasticidade E=205GPa, pode-se calcular as rigidezes de cada andar, sabendo -se
que as alturas deles são: h 1=0,12m, h2=0,14m e h3=h4=0,16m, a partir da seguinte
equação:
k=

24. E. Ih3

Assim, as rigidezes obtidas são:

k1

k2

k3

k4

189815N/m

119534N/m

80078N/m

80078N/m

As massas de cada andar podem ser obtidas a partir da densidade do aço
1020: ρ=7870km/m3, sendo que o volume de todos os andares é o mesmo:
V=0,2.0,1.0,02=0,004m3, desconsiderando as massas das paredes, as quais
correspondem a apenas 8% das massas dos andares.
Assim, as massasobtidas são:

m1

m2

m3

m4

3,148kg

3,148kg

3,148kg

3,148kg

Aplicando a segunda lei de Newton no sistema, obtém-se a seguinte equação
geral:
mi . ẍ i − k i . xi−1 + (k i + k i+1 ). xi − k i+1 . xi+1 = 0

A qual pode ser escrita na forma matricial:
[M]. { ẍ } + [K]. {x} = 0
Dessa forma, a matriz das massas é:
3,148
0
[M] = [
0
0

0
3,148
0
0

0
0
0
0
]kg
3,148
0
0
3,148

A matriz de rigidezes será obtida através do método do coeficiente de
influência, sendo a matriz de coeficientes de influência de flexibilidade:
1⁄
k1
1⁄
k1
[ a] =
1⁄
k1
1
[ ⁄k 1

1⁄
k1
1⁄ + 1⁄
k1
k2
1⁄ + 1⁄
k1
k2
1⁄ + 1⁄
k
k
1

2

1⁄
k1
1⁄ + 1⁄
k1
k2
1⁄ + 1⁄ + 1⁄
k1
k2
k3
1⁄ + 1⁄ + 1⁄
k
k
k
1

2

3

1⁄
k1
1⁄ + 1⁄
k1
k2m/N
1⁄ + 1⁄ + 1⁄
k1
k2
k3
1⁄ + 1⁄ + 1⁄ + 1⁄
k1
k2
k3
k4]

Assim, a matriz de rigidezes será obtida através da inversão da matriz
acima:
309348
−119534
[K] = [a]−1 = [
0
0

−119534
0
0
199612 −80078
0
] N/m
−80078 160156 −80078
0
−80078 80078

Como o amortecimento é proporcional à rigidez com fator de
amortecimento ξ=0,02, a matriz de amortecimento é [C]=β.[K], sendoβ=η e
η≈2.ξ=2.0,02=0,04 para ξ≪1.
12374,93
−4781,34
[ C] = [
0
0

−4781,34
0
7984,47 −3203,13
−3203,13 6406,25
0
−3203,13

0
0
]N. s/m
−3203,13
3203,13

Com as matrizes de massa e de rigidezes, podem-se obter as frequências
naturais do sistema:

ω1

ω2

ω3

ω4

68,63rad/s

184,36rad/s

271,44rad/s

354,42rad/s

f1

f2

f3

f4

10,92Hz

29,34Hz...
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