Engenheira de Produção

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Parte 2 – Determinantes

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Definição e Propriedades
DEFINIÇÃO: Seja S = {1, 2, ..., n} o conjunto de todos os inteiros de 1 a n, arrumados em ordem crescente. Uma outra ordem j1j2...jn dos elementos de S é chamada de permutação de S.
O número de permutações para um conjunto com n elementos é n!.
Uma permutação j1j2...jn de S = {1, 2, ..., n} tem uma inversão se um inteiro jr precede um inteiro menor js. Uma permutação é denominada par (respectivamente, impar) se o número total de inversões é par (respectivamente, impar). Por exemplo, a permutação 4132 de S = {1, 2, 3, 4} tem 4 inversões: o 4 antes do 1, o 4 antes do 3, o 4 antes do 2 e o 3 antes do 2. Portanto, ela é uma permutação par.
Se n ≥ 2, pode-se mostrar que Sn tem n!/2 permutações pares e um número igual de permutações ímpares.

[ ]

DEFINIÇÃO: Seja A = a ij uma matriz n×n. Definimos o determinante de A

(denotado por det(A) ou por |A|) por det (A ) = A = ∑ (± )a 1 j1 a 2 j2 K a njn

onde o somatório é tomado sobre todas as permutações j1j2...jn do conjunto
S = {1, 2, ..., n}. O sinal do termo correspondente à permutação j1j2...jn é (+) se ela for par e (–) se for ímpar.

Exemplo: Se

⎡a
A = ⎢ 11
⎣a 21

a 12 ⎤ a 22 ⎥
⎦

temos que det (A ) = a 11a 22 − a 12 a 21

⎡ a 11 a 12 a 13 ⎤
Exemplo: Se A = ⎢a 21 a 22 a 23 ⎥ temos que
⎢
⎥
⎢a 31 a 32 a 33 ⎥
⎣
⎦ det (A ) = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21a 32 − a 11a 23 a 32 − a 12 a 21a 33 − a 13 a 22 a 31

TEOREMA: Os determinantes de uma matriz e de sua transposta são iguais, isto é, det(AT) = det(A).

Exemplo: Se

⎡1 2 3 ⎤
A = ⎢ 2 1 3⎥
⎢
⎥
⎢ 3 1 2⎥
⎣
⎦

temos que det(AT) = det(A) = 6.

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TEOREMA: Se uma matriz B é obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas
(ou colunas) de A, então det(B) = –det(A).
Exemplo:

2 −1
=7
3 2

3 2
= −7
2 −1

e

TEOREMA: Se duas linhas (ou colunas) de A são iguais, então det(A) = 0.
1

Exemplo:

2 3

−1 0 7 = 0
1 2 3

TEOREMA: