Engenharia

Curso: Engenharia/Básico
Disciplina: Fenômenos de Transporte prof. Gilberto Lima

Energia no
Escoamento de
Fluidos
Equação de
Bernoulli

Regime Permanente.
Fluxo Laminar.
Fluido Incompressível (ρ = constante)

to

PHR – Plano Horizontal de Referência

to + ∆t

PHR

to

to + ∆t

No intervalo de tempo ∆t
Trabalho total sobre o fluido = Variação da Energia total do fluido

ℑ = ∆𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

⇒

ℑ = ∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + ∆𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙_𝑔

Lembrando que:

ℑ = 𝐹. ∆𝑥

ou

𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

e

ℑ = 𝑝. ∆∀

𝑚. 𝑣 2
=
2

𝑬𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍,𝒈 = 𝒎. 𝒈. 𝒚

A variação da energia cinética do fluido será obtida de:
∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎,𝑓 − 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎,𝑜

∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

∆𝑚 ∙ 𝑣𝑓2
∆𝑚 ∙ 𝑣𝑜2
=
−
2
2

Conforme mostrado no desenho, a entrada da água (ponto inicial) será indicada pelo índice 1, e a saída (ponto final) será indicada pelo índice 2, portanto:
∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

⇒

∆𝑚 ∙ 𝑣22
∆𝑚 ∙ 𝑣12
=
−
2
2

∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

∆𝑚 ∙ 𝑣22 − 𝑣12
=
2

Mas como:

𝑚
𝜌=
∀

⇒

⇒
0

𝑚=𝜌∙∀

∆𝑚 = ∆𝜌 ∙ ∀ + 𝜌 ∙ ∆∀

⇒

⇒

∆𝑚 = ∆(𝜌 ∙ ∀)

∆𝑚 = 𝜌 ∙ ∆∀,

uma vez que ρ é constante, e, portanto, ∆ρ = 0.

Dessa forma, podemos escrever:

Da seguinte forma:

∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

∆𝑚 ∙ 𝑣22 − 𝑣12
=
2

𝜌 ∙ ∆∀ ∙ 𝑣22 − 𝑣12
=
2

A variação de energia potencial gravitacional do fluido será dada por:

∆𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙_𝑔 = 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙_𝑔, 𝑓 − 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙_𝑔, 𝑜
∆𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙_𝑔 = ∆𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦𝑓 − ∆𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦𝑜
∆𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙_𝑔 = ∆𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦2 − ∆𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦1

∆𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙_𝑔 = (∆𝑚) ∙ 𝑔 ∙ 𝑦2 − 𝑦1

ou:

∆𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙_𝑔 = 𝜌 ∙ ∆∀ ∙ 𝑔 ∙ 𝑦𝑓 − 𝑦𝑜

Onde novamente usamos o fato de ∆m = ρ ∙∆∀

O Trabalho (ℑ ) sobre esta massa destacada de fluido é realizado tanto pelo fluido que a segue e a empurra no sentido do