Engenharia

1 Introdução
Seja f: R → R uma função real de variável real. Queremos determinar os valores de x tais que f(x) = 0. Esses valores são denominados zeros ou raızes da função f.
Exemplo 1. Seja a equação cosx − x = 0. Podemos reescrevê-la na forma cosx = x, e, portanto suas soluções são os valores de x onde as curvas correspondentes a y = x e y = cosx se intersectam. Como mostra a Fig. (1), existe um ponto de interseção para x = ξ. Concluımos então que a função f(x) = cosx − x possui uma raiz, e que essa raiz e única. y y = x y = cosx
Figura 1: Raiz de f(x) = cosx − x.
Exemplo 2. Seja o polinômio cúbico p3(x) = x3 − 2,1x2 − 1,8x + 2,2. A Fig. 2 mostra um gráfico de p3(x). Suas raızes são os três pontos de intersecção da curva com o eixo x, indicados por ξ1, ξ2 e ξ3.
Exemplo 3. O fato de poder escrever uma equação, não significa que ela tem solução. Por exemplo, cos2 x + 3ex = 0 não tem solução (porque cos2 x ≥ 0 e 3ex > 0).
Exemplo 4. Mais geralmente, consideremos qualquer sistema computacional, elétrico, mecânico, biológico, social, etc., no qual certo parâmetro y medido na saıda desse sistema depende de outro x parâmetro de entrada. O que queremos saber e qual deve ser a entrada x para se obter y = 0.
Como os exemplos acima ilustram, uma equação f(x) = 0 pode ter uma, múltiplas, infinitas, ou nenhuma solução. Antes de utilizar um método para calcular a solução, e conveniente determinar se ela existe, e em tal caso, quantas são, e aproximadamente onde estão localizadas. Como veremos, todos os métodos numéricos exigem uma ou mais aproximações iniciais

A solução procurada, e quanto mais próxima da solução esteja, maiores as chances de determiná-la com sucesso e rapidez.
Para analisar a existência de zeros de uma função, o Teorema do Valor Intermediário e util.
Teorema 1 (Teorema do Valor Intermediário). Se f e contınua em [a, b] e K e qualquer numero entre f(a) e f(b), então existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = K.
Em particular, se f(a) e f(b) tem