engenharia

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4 – Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis
4.1 – Ponto de máximo de uma função
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x0, y0) є D(f) é ponto de máximo absoluto ou global de f se, para todo
(x, y) є D(f),

f(x,y) < f (x0, y0)

Dizemos que f (x0, y0) é o valor máximo de f.
Exemplo: A função f(x,y) = 4 – x2 - y2 tem o ponto (0,0) como um ponto de máximo absoluto ou global de f, pois para todo
(x, y) є D(f)
4 – x2 - y2 < f (0,0)
4 – x2 - y2 < 4, para todo (x, y) є R2.
O valor máximo de f(x,y) = 4 – x2 - y2 é f (0,0) = 4.

4.2 – Ponto de mínimo de uma função
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x0, y0) є D(f) é ponto de mínimo absoluto ou global de f se, para todo
(x, y) є D(f),

f(x,y) > f (x0, y0)

Dizemos que f (x0, y0) é o valor mínimo de f.
Exemplo: A função f(x,y) = 1 + x2 + y2 tem o ponto (0,0) como um ponto de mínimo absoluto ou global de f, pois para todo
(x, y) є D(f)
1 + x2 + y2 > f (0,0)
1 + x2 + y2 > 1, para todo (x, y) є R2.
O valor mínimo de f(x,y) = 1 + x2 + y2 é f (0,0) = 1.

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É usual denominar os pontos de máximo e de mínimo de uma função de pontos extremantes (locais ou globais).

4.3 – Ponto crítico de uma função de duas variáveis
Seja z = f(x,y) definida num conjunto aberto U є R2. Um ponto (x0, y0) є U é um ponto
∂f
∂f crítico de f se as derivadas
( x0 , y0 ) e
( x0 , y0 ) são iguais a zero ou se f não é
∂x
∂y diferenciável em (x0, y0) є U.
Geometricamente podemos pensar nos pontos críticos de uma função z = f(x,y) como os pontos em que o seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal.
Os pontos extremantes (máximo e mínimo) de z = f(x,y) estão entre seus pontos críticos. No entanto um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante.
Um ponto crítico que não é um ponto extremante é um ponto de sela.

4.4 – Proposição
Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de 1a e 2a ordem são contínuas num conjunto