Engenharia

INTEGRAIS DE LINHA

Lembrando que integrais definidas (ou integrais duplas) de funções escalares cujas imagens são não negativas em todos os pontos do domínio D, são números também não negativos e que representam a área da região do plano acima de D e abaixo da curva gráfico da função de uma variável (ou o volume do sólido no espaço acima de D e abaixo da superfície gráfico da função de duas variáveis). Existem situações não contempladas nos casos acima descritos. Por exemplo, se quisermos calcular a área de um “muro” construído sobre uma curva e cuja altura é variável não é possível fazê-lo através de integral definida nem de integral dupla. Porém, o cálculo dessa área segue o mesmo princípio, dando origem a um novo tipo de integrais, as integrais de linha ou integrais curvilíneas.

Problema:
Consideremos uma curva C unindo dois pontos no plano XOY e uma função z = f(x, y) contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva C. Um muro é construído ao longo de C e tem altura igual à f(x, y) (supondo que f seja não negativa em D) em cada ponto (x,y) de C. Qual é a área deste muro?

Para resolver o problema nós tomamos um partição da curva C obtendo n arcos pela introdução de n-1 pontos em C entre os seus extremos.

Traçando retas verticais por esses pontos (inclusive os extremos) dividimos o muro em n “tiras”. Denotando por Ai a área da i-ésima tira a área do muro é dada por A = A1 + A2 + ... + An = Ai

Vejamos uma aproximação para a área da i-ésima tira, Ai. Para isso, tomemos no i-ésimo arco, Pi-1 Pi, um ponto Qi(x*i, y*i) e consideremos a altura f(x*i, y*i) do muro neste ponto.

O comprimento do arco Pi-1 Pi denotaremos por si.
Como f é uma função contínua e a i-ésima tira é estreita podemos aproximar o valor de f para f(x*i, y*i) em todo (x, y) do arco
Pi-1 Pi. Assim, a área da i-ésima tira é aproximada por

Ai f(x*i, y*i) si