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Apontamentos de Análise Matemática
Rui Marreiros, 2009. Estes apontamentos constituem os primeiros capítulos de um texto em preparação de Análise Matemática, tendo por base as aulas leccionadas pelo autor na Universidade do Algarve.

Índice 1. Cálculo diferencial. (2) (2) (8) (11)

1.1. De…nição de derivada; propriedades básicas. 1.2. Derivada duma função composta. 1.3. Derivada duma função inversa. 1.4. De…nição de diferencial. 2. Cálculo integral. básicas. (16) 2.2. Primitivas imediatas. 2.4. Primitivação por partes. (17) (19) (25) (21) 2.3. Primitivação por substituição. 2.5. Primitivação de fracções racionais. (16) (13)

2.1. De…nição de primitiva e de integral inde…nido; propriedades

2.6. De…nição do integral de…nido. O integral de Riemann. 2.7. Propriedades básicas. O Teorema Fundamental. 2.8. Cálculo de áreas de …guras planas. Bibliogra…a. (37) (35) (33)

(27)

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Cálculo diferencial. x um

Seja y = f (x) uma função de…nida numa vizinhança do ponto x0 , acréscimo da variável x no ponto x0 e função f , i.e., f (x0 + x) = f (x0 ) + y, y = f (x0 + x) f (x0 ):

y o corrrespondente acréscimo da

De…nição 1.1 Chama-se derivada da função y = f (x) no ponto x0 ao limite lim x!0 y , x

se este existir; denotamos y f (x0 + = lim x!0 x x) x f (x0 ) dy . dx : (1)

f 0 (x0 ) = lim

x!0

0 Outras notações habituais para a derivada são y 0 ; yx ;

De…nição 1.2 A função y = f (x) diz-se derivável no ponto x0 se tiver derivada neste ponto, i.e., se existir o limite (1). De…nição 1.3 Seja A um conjunto aberto; a função y = f (x) diz-se derivável no conjunto A se for derivável em todos os pontos de A. Neste caso, chama-se função derivada da função f (x) à função igual a f 0 (x), 8x 2 A. Teorema 1.1 Seja y = f (x) uma função derivável no ponto x0 ; então y = f (x) é uma função contínua no ponto x0 . Demonstração. Existe o limite (1), lim mento y y ; logo a função de argux!0 x x x é limitada numa vizinhança do ponto 0. Ou seja temos 9M; >