Engenharia

PÁGINA DA
PROFESSORA
SABRINA SALAZAR
CÁLCULO B

SEMANA4

1 INTEGRAÇÃO POR PARTES
Agora, depois de estudarmos o TFC, podemos constatar que, mesmo para calcular as integrais definidas, é fundamental o cálculo da integral indefinida a fim de encontrarmos primitivas e aplicarmos o TFC. Por enquanto, a única técnica de integração que estudamos foi a Regra da Substituição, mas mesmo com ela, não conseguimos resolver as integrais
∫xexdx, ∫sin2(x)dx, ∫1-x2dx, ∫dxx2-3x+2.
Para calcular tais integrais, precisaremos conhecer técnicas mais elaboradas.
Começaremos atacando a primeira integral da lista acima, ∫xexdx, que é, tipicamente, resolvida pela Integração por Partes.
O método da Integração por Partes
A Integração por Partes é, basicamente, a volta da Regra do Produto para derivadas.
Assim, vamos retomá-la. Se quisermos d iferenciar uma função do tipo f(x)g(x), fazemos ddx[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x). Mas daí temos que f(x)g'(x)+f'(x)g(x) é uma primitiva para f(x)g(x). Assim, podemos reescrever a fórmula acima em termos de integral indefinida como
∫f(x)g'(x)+g(x)f'(x)dx=f(x)g(x)+C.
Separando a soma e reorganizando os termos obtemos
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx.
que é a fórmula para a Integração por Partes. A constante C pode ser omitida na linha

anterior, pois fica imbutida na integral ∫f'(x)g(x)dx.
Uma maneira mais usual de escrever a fórmula de Integração por partes é utilizar a notação diferencial e fazer u=f(x), du=f'(x)dx e v=g(x), dv=g'(x)dx, daí, obtemos a versão mais difundida da Integração por Partes, como mostra o quadro abaixo. Fórmula para a Integração por Partes
∫udv=uv-∫vdu.

Observação: Note que a Integração por Partes não resolve imediatamente a integral
∫udv, pois é preciso calcular a integral ∫vdu para obter uma resposta sem integrais. O grande objetivo da Integração por Partes é trocar uma integral mais difícil de resolver por uma mais fácil.
Para calcular a integral, ∫xexdx, citada como exemplo no