Engenharia eletrica

Eletromagnetismo

Equações de Poisson e de Laplace

Equações de Poisson e de Laplace

Lei de Gauss (Forma Pontual) = 1ª Equação de Maxwell:

∇ ⋅ D = ρV

Como D = ε .E :

∇ ⋅ ε .E = ρV
∇⋅E =

( )

ρV ε

Mas como E = − gradV :

∇ ⋅ − ∇V =

(

)

ρV ε

Obs.: ∇ ⋅ ∇V é o divergente do gradiente, que é o Laplaciano ∇ 2

( )

( )

Logo:

∇ 2V =

− ρV

ε

Mudança de notação a partir deste ponto: “V” passa a ser identificado como “ Φ ” (não confundir com φ das coordenadas cilíndricas e esféricas).

∇ 2Φ =

− ρV

ε

Equação de Poisson

Para ρV = 0 :

∇ 2Φ = 0

Equação de Laplace

1

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Equações de Poisson e de Laplace

Cálculo do Laplaciano

1 - Coordenadas Cartesianas: ∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 ∂x 2 ∂y ∂z

∇2 =

2 - Coordenadas Cilíndricas: 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2 ∂2 ⎜ρ ⎟+ 2 + 2 ρ ∂ρ ⎜ ∂ρ ⎟ ρ ∂φ 2 ∂z ⎝ ⎠

∇2 =

3 - Coordenadas Esféricas: 1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ 1 1 ∂2 ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∇ = 2 ⎜r ⎟+ ⎜ senθ ⎟+ ∂θ ⎠ r 2 .sen 2θ ∂φ 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 .senθ ∂θ ⎝
2

2

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Equações de Poisson e de Laplace

Exercícios Resolvidos

Exercício 1: No capacitor esférico na figura, o condutor interno é mantido no potencial V, enquanto que o condutor externo está aterrado ( Φ = 0 ). Usar a equação de Laplace e as equações de contorno dadas para obter a distribuição de potenciais e os campos elétricos no espaço entre os condutores. Obter também a capacitância da montagem. Discutir os resultados.

Resolução:

Devido à simetria esférica, o potencial elétrico é independente de φ e θ , ou seja, o Laplaciano se torna:
∇ 2Φ = 1 d ⎛ 2 dΦ ⎞ ⎜r ⎟ r 2 dr ⎝ dr ⎠

E:

1 d ⎛ 2 dΦ ⎞ ⎜r ⎟=0 r 2 dr ⎝ dr ⎠

Para r ≠ 0

A solução geral desta equação é da forma:

Φ=

A +B r

em que A e

B são duas constantes arbitrárias que serão determinadas a partir das condições de contorno.

3

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Equações de Poisson e de Laplace

Na superfície do condutor interno, r = a e Φ = V :

V =

A + B. a