Engenharia civil

Disciplina – Cálculo III - Professora Débora Silva

A integral Definida como Área
Se f(x) é positiva, podemos interpretar cada parcela
,
,... em uma soma de
Riemann à esquerda ou à direita como a área de um retângulo. Veja a Fig 1. Quando a largura dos retângulos tende a zero, os retângulos se ajeitam melhor à curva e a soma de suas áreas se aproximam cada vez mais da área debaixo da curva, sombreada na Fig 2. Isso sugere que: Fig 1: Área dos retângulos aproximado a área debaixo da curva; Fig 2: A integral definida.

Exemplo 1: Considere a integral ∫ √

.

a) Interprete a integral como área e calcule seu valor exato.

Utilizando o computador (segue a tabela no site), o valor da integral é: 1,57
Quando f(x) não é positiva:

Exemplo 2: Qual a relação entre a integral definida ∫ e o eixo dos x?

e a área entre a parábola

Utilizando o computador (segue a tabela no site) o valor da integral é de aproximadamente 1,33.
A parábola está a baixo do eixo dos x entre x = -1 e x = 1. Logo, a área entre a parábola e o eixo dos x é aproximadamente 1,33.

Exemplo 3: Determinar a área limitada pela curva

Exemplo 4: Determinar a área limitada pelas curvas

e pelo eixo .

A Integral Definida como uma média

∫

Exemplo: A população do México pode ser modelada pela função:

Onde P é medido em milhões de pessoas e t em anos a partir de 1980. Use uma função para prever a população média do México entre os anos de 2000 e 2020.
Resolução:
a = 20 – até 2000 passaram 20 anos b = 40 até 2020 passaram 40 anos
∫