Eng civil

Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil

Prof. Romel Dias Vanderlei

Prof. Romel Dias Vanderlei

CAPÍTULO 4:
DEFLEXÃO DE VIGAS

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Linha Elástica é a curva que representa o eixo da viga após a deformação.

Linha Elástica

A deflexão “v” é o deslocamento de qualquer ponto no eixo da viga.

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ).
O ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e a tangente à curva da linha elástica.

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dθ

dθ

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Da figura vemos que:

dθ

ρ .d θ = ds k= 1

ρ

=

dθ ds dθ em radianos

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Da figura vemos que:

dv
= tg θ dx dθ

Inclinação da Linha Elástica

 dv 

 dx  dx  cos θ =

 ds e: 
 sen θ = dv

ds


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θ = arctg

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação: θ 0

ds ≈ dx → k =

1

ρ

=

dθ dx dv
= θ , sendo θ em radianos. dx 2
Logo, fazendo: dθ = d v dx dx2
1 d 2 v Equação válida para k= = pequenas rotações ρ dx 2 tgθ ≈ θ

→

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Para materiais elástico lineares (Lei de Hooke):

σ x = E⋅ ε x

∫σ

x

εx =

e

1

ρ

⋅y=k⋅y

⋅ dA ⋅ y = M → ∫ E ⋅ ( k ⋅ y ) ⋅ y ⋅ dA = M

A

A

E ⋅ k ∫ y 2 ⋅ dA = M → E ⋅ k ⋅ I z = M → k =
A

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Logo:

d 2v M
=
dx 2 EI z

M
E ⋅ Iz

Equação Diferencial da
Linha Elástica

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Convenções de Sinais:
(1)Eixos:

y(+) x(+) (2) Deflexão: v(+)
(3) Rotações: dv e θ

dx

(4)