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Função exponencial e logarítmica A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita, normalmente, como exp(x) ou ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo. Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo: ax = exlna Para todo a > 0 e .

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial. As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais: a0 = 1 a1 = a ax + y = axay

axbx = (ab)x

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

Função exponencial e equações diferenciais A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo. A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

e é por essa razão