Energia de fermi

FÍSICA 3
Aluno: Turma: F1

1. A) Determine <r> e <r²> para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio, expressando sua resposta em termos do raio de Bohr a. Determine também a, que é o raio da órbita de Bohr do estado de mais baixa energia, no modelo de Bohr.

A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio, com n=3, é dada por:

Ψ=181πa3227-18ra+ra2e-r3a

Logo <r> =0∞r|Ψ|24πr2dr =0∞4πr3181πa3227-18ra+ra2e-r3a2dr
<r> = 0∞4πr3e-2r3a19683πa3ra4-36ra3+378ra2-972ra+729 dr
<r> = 419683a30∞r7e-2r3aa4-36r6e-2r3aa3+378r5e-2r3aa2-972r4e-2r3aa+729r3e-2r3a dr 0∞r7e-2r3aa4=2066715a416
0∞r6e-2r3aa3=98415a48
0∞r5e-2r3aa2=10935a48
0∞r4e-2r3aa=729a44
0∞r3e-2r3a=243a48

<r> = 419683a32066715a416-3698415a48+37810935a48-972729a44+729243a48
<r> =76763778732a → <r> =9,75a
<r²> = 0∞r2|Ψ|24πr2dr =0∞4πr4181πa3227-18ra+ra2e-r3a2dr
<r²> = 0∞4πr4e-2r3a19683πa3ra4-36ra3+378ra2-972ra+729 dr
<r²> = 419683a30∞r8e-2r3aa4-36r7e-2r3aa3+378r6e-2r3aa2-972r5e-2r3aa+729r4e-2r3a dr

0∞r8e-2r3aa4=6200145a54
0∞r7e-2r3aa3=2066715a516
0∞r6e-2r3aa2=98415a58
0∞r5e-2r3aa=10935a58
0∞r4e-2r3a=729a54

<r²> =419683a36200145a54-362066715a516+37898415a58-97210935a58+729729a54
<r²> =141717619683a2 → <r²> =72a2

F = -14πε˳e2r2 =m-v2r v =nħrm

14πε˳e2r2 = mn2ħ2r3m2 → r=4πε˳n2ħ2me2 ħ=h2π

r = h24πε˳n24π2me2 = h2ε˳n2πme2 como: r =an2

a=h2ε˳πme2 =52,9 × 10-12 m
B) Determine <x> e <x²> no estado fundamental sem calcular mais integrais, usando o resultado anterior e as simetrias do estado fundamental.

Como a distribuição de probabilidades associada ao estado fundamental do átomo de hidrogênio é esfericamente simétrica, e levando-se em conta que x é uma função