Enem

a

Solução da prova da 1 fase
OBMEP 2015  Nível 3

1

QUESTÃO 1
ALTERNATIVA D
Como 2,5 = 5 x 0,5, o tempo que o frango deve ficar no forno é 5 x 12 = 60 minutos. Logo, Paula deve colocar o frango no forno às 19 h, mas 15 minutos antes deve acender o forno. Assim, Paula deve acender o forno às 18 horas e 45 minutos.
QUESTÃO 2
ALTERNATIVA A
2
Da figura, tiramos que 3x – x = 4(x – x), já que os pontos estão igualmente espaçados.

2

Logo, 2x = 4x – 4x. Há duas soluções: x = 0 (que não serve) e x = 3/2. O valor da distância entre dois pontos
2
consecutivos é, portanto, (3/2) – (3/2) = 3/4.
QUESTÃO 3
ALTERNATIVA C
2
2
Observe que o último número da linha 1 é 1, da linha 2 é 4 = 2 , da linha 3 é 9 = 3 e assim por diante. Os números que finalizam uma linha são sempre quadrados perfeitos. Assim, como os quadrados mais próximos de
2
2
2015 são 44 = 1936 e 45 = 2025, o número 2015 foi escrito na linha 45.
2
Observação: A afirmação “A linha n contém 2n -1 termos e termina com o número n ” pode ser facilmente provada usando-se o Princípio de Indução Finita, pois ela é obviamente verdadeira para n=1 e, supondo-a verdadeira para a linha n, a linha n+1 terá 2n-1+2 = 2(n+1) -1 termos, já que ela contém 2 termos a mais do que a anterior; além
2
2 disso, o último termo da linha n+1 é n + (2n-1) + 2 = (n+1) .
QUESTÃO 4
ALTERNATIVA E
Sendo B e F os pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente, podemos dividir o retângulo ACDE usando segmentos paralelos aos seus lados com extremos nesses pontos médios para observar que:
2
- a área do triângulo ABF é 1⁄8 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 80 cm ;
2
- a área do triângulo EDF é 1⁄4 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 160 cm ;
2
- a área do triângulo BCD é 1⁄4 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 160 cm .
A soma dessas áreas é igual a 1⁄8 + 1⁄4 + 1⁄4 = 5⁄8 da área do retângulo, ou ainda,
2
2
400 cm . Portanto, a área do triângulo BDF é igual a 3⁄8 da área do retângulo ACDE, ou seja, é 240 cm .

a

Solução da