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Métodos Matemáticos 2012 –Notas de Aula
Equações Diferenciais Ordinárias III
A C Tort∗

2 de outubro de 2012

Diferenciais inexatas e o fator integrante
Vimos que a EDO implícita:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,

(1)

∂M (x, y)
∂N (x, y)
=
.
∂y
∂x

(2)

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

(3)

é exata se e apenas se:

Suponha que

não seja exata, mas que exista uma função F (x.y) tal que:
F (x, y) P (x, y) dx + F (x, y) Q(x, y) dy = 0,

(4)

agora seja exata. O problema então é determinar esta função F (x, y) que transforma a equação diferencial original de inexata em exata. esta função é chamada de fator integrante. Vejamos um exemplo simples.
Exemplo 1 Considere y dx − x dy = 0.

(5)

Vemos que M (x, y) = y, e N (x, y) = −x. Aplicando o teste de exatidão:
∂N (x, y)
= −1,
∂x

∂M (x, y)
= 1,
∂y

(6)

logo, esta EDO implícita não é exata. É fácil inferir que F (x, y) = 1/x2 é um fator integrante (embora não seja o único). Multiplicando a EDO implícita por este fator integrante: y 1 dx − dy = 0. x2 x
Agora temos uma diferencial exata e podemos aplicar a técnica que discutimos na última nota de aula.

(7)

A determinação do fator integrante não é uma tarefa fácil. Muitas vezes podemos inferí-lo ou mesmo deduzílo por tentativa e erro. Eis um método que funciona em alguns casos. Se a Eq. (4) for uma diferencial exata então: ∂ (F Q)
∂ (F P )
=
,
∂y
∂x
∗ email:

[e-mail]

1

(8)

2

Notas de Aula. AC TORT 2012

ou, desenvolvendo:
Fy P + F Py = Fx Q + F Qx ,

(9)

que não representa uma grande avanço. Suponha, porém, que F = F (x). Então Fy = 0 e Fx = F ′ . Segue que:
F Py =

dF
Q + F Qx . dx (10)

Com um pouco de álgebra podemos escrever:
1
1 dF
=
F dx
Q

∂P
∂Q
−
∂y
∂x

.

(11)

Se o lado direito desta equação depender somente de x, isto é for uma certa função R(x), podemos integrá-la e obter: F (x) = exp

R(x) dx .

(12)

Exemplo 2 Considere a EDO