Eletrostática

1 – Eletrostática (cont)

Prof. Guilherme Sotelo

1.3.1 – Campo de uma linha de carga infinita
Considere uma linha de carga infinita com:densidade linear de carga ρL:

1.3.1 – Campo de uma linha de carga infinita
O elemento dQ produz um campo em P:

onde

Substituindo:

1.3.1 – Campo de uma linha de carga infinita

r r r r E = Eρ a ρ + Eφ aφ + E z a z
Como a única componente presente em E é Eρ, temos:

O campo será dado por:

1.3.1 – Campo de uma linha de carga infinita
Reescrevendo:

ρL ρ Eρ = ∫ dEρ = 4πε 0 −∞

∞

∞

−∞

∫ (ρ
2

dz '
2

+ z'

2 3/ 2

)

Da tabela de integrais:

∫ (x

dx
2

+a

2 3/ 2

)

x = 2 a

1 x +a
2

+C
    −∞
+∞

Substituindo:

z' ρL ρ 1   Eρ = 2 4πε 0 ρ  ρ 2 + z '2 
2

1.3.1 – Campo de uma linha de carga infinita
Como resultado temos o campo na direção radial :

ρL Eρ = 2πε 0 ρ
Então, o campo produzido por uma linha de carga infinita é

r E=

ρL r aρ 2πε 0 ρ

(1.6):

1.3.2 – Campo de uma lâmina de carga infinita
Considere uma lâmina de carga infinita de densidade superficial de carga igual a ρL: :

Essa lâmina de cargas pode ser entendida como uma soma de infinitas linhas de cargas paralelas.

1.3.2 – Campo de uma lâmina de carga infinita
Por simetria, o campo elétrico deve estar na direção z:

r r r r E = Ex ax + E y a y + Ez az
E y = 0 e Ez = 0 r r E = Ex ax onde r dE

dE y dE x

A contribuição da linha de carga para Ex em P é:

ρ S dy ' ρL dE x = cos θ = cos θ 2πε 0 ρ 2πε 0 x 2 + y '2

1.3.2 – Campo de uma lâmina de carga infinita
Então:

dE x =

ρ S dy '
2πε 0 x 2 + y '2 cos θ = x x 2 + y '2

cos θ

Dessa forma dEx fica como:

r dE

dE y dE x

dE x =
+∞ +∞

2πε 0 ( x 2 + y '2 )
+∞

ρ S xdy '

Somando todas as linhas de cargas ao longo da lâmina:

ρS E x = ∫ dE x = 2πε 0 −∞

ρ S  −1 y '  x ∫∞ x 2 + y'2 dy' = 2πε 0  tan x −∞   −

1.3.2 – Campo de uma lâmina de carga infinita