Elementos Finitos

Teoria das Estruturas.
Exercícios de revisão.
Cálculo de deslocamentos
Calcular o deslocamento vertical da ponta da viga em balanço abaixo
6 KN

2KN/m
E

P

2m
EI=const

δ

∫

=

L

M M ds
EI

o

P q M = - Px’ – q x’²
2
M = - 6x’- x’²

x’

o≤x’≤2

1

M = - 1. x’ x’ v

δ = ∫²
P

=

º

(-6 x’ - x’² ) (-x’) dx’
EI

²
6 x’³ + x’⁴
3
4

1
EI
v

δ

= + 20 (m)
EI
P

²
=

1
EI

( 16+ 4 )

=

20
EI

º
O sinal + indica que o deslocamento está no sentido da carga unitária

Calcular a rotação do ponto C da viga EC em balanço dada.

6 KN
E

P

δ

C

=

∫º

L

M M ds
EI

2m
1m
EI = const.
P

s₂

s₁

M=0 s₁ d

M = - P. d. s₂ = - 6. (x-1).

x

1≤ x ≤ 3

M s₁ = 1
1

∅ c =

Ø = c ∫s₁ MEIM ds + ∫s₂
∫

0 .1 ds +
EI

∫

3

M s₂ = 1

M M ds
EI

- 6 (x-1). 1 dx
EI

1
3

Ø = -6 c EI

(

x² - x
2

= - 12 rd
EI

)
1

O sinal negativo indica que a rotação será no sentido contrário da carga unitária ou seja a rotação em C é no sentido horário.

Calcular a rotação do apoio B do pórtico sabendo que EI = 1 = constante para as duas barras

6KN

x
C

A

6

4 KN

4 s₁ VA=0

s₂

s₃

y

B
HB=4
VB=6
M s₁ = 0

M =-6 (x-2) s₂ 0≤x≤2

2≤x≤4

M = -4y s₃ 0≤y≤3 s₁ 1

VA=0,25

s₂

1

s₃
HB=0

V B=0,25

M = + 0,25 x s₁ Ø =
B

∫s₁

ØB = -28

0 ds

M = + 0,25 x s₂ +

4

∫
2

-1,5 (x² - 2x) dx

+

M= 1 s₃ 3

∫ o - 4y dy

Calcular as rotações nos apoios da viga sabendo que EI = constante.

s₃

s₁

6 KN/m

12KN
VA = 28

s₂

A

2m

B

6m

VB = 32

2m

x

x’

→

x’

←

←
24

MS₁ = - 12 x"
MS₂ = - 12 (x’+2) - •3 x’² + 32 x’

12

MS₃ = - 3 x²

9

1
∅B=

∫

ds

= L b₂ (2c + a₂)
6
1

= 6 . 1 (18 – 24) = - 6
6
EI

1
∅A =
1

∫

ds

= L b₁ (2c + a₁) ds
6
= 6 (-1) (18 – 12) = -