Elementos finitos

Capítulo 1
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
1.1.

INTRODUÇÃO

1.1.1. Matrizes e Vetores
Uma Matriz pode ser definida como um conjunto ordenado de números. As matrizes mais usuais são formadas por m x n números ordenados em m linhas e n colunas, como representada na expressão (1.1):
⎡ a11
⎢a
[A] = ⎢ 21
⎢M
⎢
⎣am1

a12 a22 M

am2

L a1n ⎤
L a2n ⎥
⎥
O M⎥
⎥
L amn ⎦

(1.1)

Uma matriz m x n é dita de ordem m por n. Quando m = 1 resulta uma matriz ou vetor linha, quando n = 1 tem-se uma matriz, vetor coluna ou simplesmente vetor. A representação usual de matrizes é feita utilizando-se uma letra maiúscula entre chaves [ ] ou mais facilmente utilizando-se a letra maiúscula em negrito. Um vetor é representado usualmente como uma letra minúscula entre colchetes { } ou por meio de um letra minúscula em negrito. Assim, são exemplos de matrizes:
0
− 3. 5 ⎤
⎡2.0
⎧ 3. 5 ⎫
⎢
⎥ [ ] {}
[B] = b = ⎢4.8 3.2 2.4 ⎥ ; y = y = y = ⎪ 0 ⎪ ;
⎨
⎬
⎪ − 1 . 8⎪
⎢ 0 − 1. 4 1 . 2 ⎥
⎣
⎦
⎩
⎭

(1.2)

Um elemento ou coeficiente genérico na i-ésima linha e j-ésima coluna de uma matriz é designado pelo índice ij. Assim, na matriz [B] da Eq. (1.2), o coeficiente b23
= 2.4 e b31 =0.
A grande vantagem na utilização de matrizes e vetores reside no fato de ser possível representar uma quantidade qualquer de números ordenados a partir de um único símbolo. Assim, equações envolvendo uma quantidade enorme de valores numéricos sistematicamente ordenados podem ser expressas com grande simplicidade. Por exemplo, seja o sistema de equações algébricas lineares, definido em (1.3):

Elementos de Álgebra Matricial

4 x1
2 x1
3 x1
-1 x1

+ 2x 2 + x3 + 2x4 = 4
- 3x 2 + 2x3 - x4 = -3
+ x 2 - 4x3 + 5x4 = 2
+ 3 x 2 + 2x3 + x4 = -4

(1.3)

Por meio da representação matricial o sistema de equações (1.3) pode ser escrito simplesmente como:
[A] {x} = {y},

(1.4)

sendo [A], a matriz do sistema, {x} o vetor de valores incógnitos e {y} o vetor de