Edos segunda ordem

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática
Equações Diferenciais

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA PADRÃO : a y′′ + b y ′ + cy = 0 Exemplos . 1) y′′ + 6y′ + 5y = 0 2) y′′ + y′ = 0 a = 1 , b =6 e c = 5 a= 1 ,b=1 e c=0 a=2 ,b=–5 e c=4 a = 1, b=0 e c=9

3) 2y′′ – 5y′ + 4y = 0 4) y′′ – 9y = 0

As soluções usuais destas equações são funções exponenciais, funções lineares e as funções trigonométricas seno e cosseno, que são periódicas. Por exemplo, uma solução da equação diferencial y′′ – 9y = 0 é y = e3x, pois y′ = 3e3x e y′′ = 9e3x, donde y′′ – 9y = 9e3x – 9e3x = 0. De acordo com a teoria, as equações diferenciais lineares de ordem 2, homogêneas, com coeficientes constantes, possuem duas soluções linearmente independentes. Tais soluções podem ser determinadas através do método da equação característica. No caso da equação y′′ – 9y = 0 , supondo uma solução exponencial, isto é, da forma y = erx, vemos que y' = rerx e y'' = r2erx ; substituindo na equação y′′ – 9y = 0, resulta r2erx – 9erx = 0, logo (r2 – 9)erx = 0. Como erx ≠ 0, segue r2 – 9 = 0, donde r = 3 ou r = – 3. A equação r2 – 9 = 0 é chamada de equação característica da equação diferencial. Assim, as soluções linearmente independentes da equação y′′ – 9y = 0 são as funções y1 = e3x e y2 = e–3x . Neste caso, a solução geral da equação y′′ – 9y = 0 é dada por y = ae3x + be–3x, onde a e b são constantes arbitrárias. Generalizando este exemplo, descrevemos abaixo o método da equação característica. Solução geral da equação a y′′ + b y ′ + cy = 0 em termos das raízes r1 e r2 da equação característica ar2 + br +c = 0 . A equação característica é uma equação de segundo grau, na incógnita r. Esta equação equivale a substituir , na edo dada, y ′′ por r2 , y ′ por r e y por 1, respectivamente. Ao resolver esta equação, podemos obter duas raízes diferentes, duas raízes iguais ou duas raízes complexas