Edo equações diferenciais

Introdu¸˜o `s Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias ca a c˜ a Lista de Exerc´ ıcios 3 1. Encontre o Wronskiano e determine se cada conjunto de fun¸oes s˜o linearmente independente ou c˜ a linearmente dependentes em (−∞, ∞). (a) {e−2t , te−2t } (d) {t, t2 , 4t − 3t2 } (b) {sen 2t, sen t cos t} (e) {t2 + 5t, t2 − 5t} (c) {eλ1 t , eλ2 t } (λ1 = λ2 ) (f ) {e3x , e3x−1 }.

2. Verifique que y1 (t) = t2 e y2 (t) = t−1 s˜o duas solu¸oes da equa¸ao diferencial t2 y ′′ − 2y = 0 para a c˜ c˜ t > 0. Depois mostre que c1 t2 + c2 t−1 tamb´m ´ solu¸ao dessa equa¸ao quaisquer que sejam c1 e c2 . e e c˜ c˜ 3. Se o Wronskiano de f e g ´ t2 et e f (t) = t, encontre g(t). e 4. Verifique que as solu¸oes y1 e y2 s˜o solu¸oes da equa¸ao diferencial dada. Elas constituem um c˜ a c˜ c˜ conjunto fundamental de solu¸oes? c˜ (a) y ′′ + 4y = 0; (b) y ′′ − 2y ′ + y = 0; y1 (t) = cos 2t, y1 (t) = et , y2 (t) = sen 2t y2 (t) = tet

5. Resolva as seguintes equa¸oes diferenciais c˜ (a) 4y ′′ + y ′ = 0 (c) y ′′ + 2y ′ − 3y = 0 (e) y ′′ + 5y = 4y ′ (g) y ′′ − y ′ − 6y = 0 (i) y ′′ − 2y ′ + 2y = 0 y (k) 9 d 2 + 6 dy + y = 0 dt dt
2

(b) y ′′ + 16y = 0 (d) 2y ′′ − 3y ′ + y = 0 (f ) y ′′ + 2y ′ + y = 0 (h) y ′′ − 8y = 0 (j) d2 y dt2

− 10 dy + 25y = 0 dt

(l) y ′′ + 6y ′ + 13y = 0

6. Encontre a solu¸ao do problema de valor inicial dado. c˜ (a) y ′′ + 4y = 0 (b) y ′′ − 6y ′ + 9y = 0 (c) y ′′ + 4y ′ + 3y = 0 (d) 4y ′′ + 12y ′ + 9y = 0 (e) y ′′ − 2y ′ + 5y = 0 (f ) y ′′ + 4y ′ + 5y = 0 (g) y ′′ + 8y ′ − 9y = 0 y(0) = 0, y ′ (0) = 1 y(0) = 0, y ′ (0) = 2 y(0) = 2, y ′ (0) = −1 y(0) = 1, y ′ (0) = −4 y(π/2) = 0, y ′ (π/2) = 2 y(0) = 1, y ′ (0) = 0 y(1) = 1, y ′ (1) = 0

1

7. Mostre que as solu¸oes n˜o triviais y(t) das seguintes equa¸oes c˜ a c˜ (a) 6y ′′ − 7y ′ + 2y = 0 (b) y ′′ − 8y ′ + 16y = 0 s˜o tais que a t→−∞ lim y(t) = 0

e

t→∞

lim y(t) = ±∞.

O que se pode dizer do comportameno das solu¸oes n˜o triviais de y ′′ −2y ′ +5y = 0 quando t → ±∞? c˜ a 8. Encontre uma equa¸ao