economia

Espacos Vetoriais
1. Verique se V = f(x; y) 2 R; x > 0g e um espaco vetorial real munido das operac~oes: (x1; y1) 
(x2; y2) = (x1x2; y1 + y2) e   (x; y) = (x; y), para todo  2 R.
2. Sejam V e W espacos vetoriais reais. Mostre que Z = V W = f(v; u)= v 2 V e w 2 Wg munido das seguintes operac~oes: (v1;w1) + (v2;w2) = (v1 + v2;w1 + w2) e (v;w) = (v; w), para todo 2 R, e um espaco vetorial, chamado de produto cartesiano de V e W.
3. Seja V f(x; y) 2 R2g. Mostre que V n~ao e um espaco vetorial em relac~ao a cada uma das seguintes operac~oes de adic~ao e multiplicac~ao por escalar abaixo, explicitando quais das condic~oes n~ao s~ao satisfeitas: (a) (x; y) + (z;w) = (x + z; y + w) e (a; b) = (a; b);
(b) (x; y) + (z;w) = (x; y) e (a; b) = (a; b);
(c) (x; y) + (z;w) = (x + z; y + w) e (a; b) = (2a; 2b);
(d) (x; y) + (z;w) = (x + z; y + w) e (a; b) = (a; 0);
(e) (x; y) + (z;w) = (x + w; y + z) e (a; b) = (a; b);
4. Use os axiomas de espaco vetorial E para provar, por induc~ao, que se v 2 E e n 2 N ent~ao n
v = v + v +


+ v (n parcelas).
5. Seja R1 = f(x1; x2; : : : ); xi 2 Rg o conjunto de todas as sequ^encias de numeros reais. Dena em
R1 operac~oes que o torne um espaco vetorial real.
6. Dena o que vem a ser um espaco vetorial sobre C e d^e exemplos de espacos vetoriais complexos.
7. Mostre que o conjunto C([a; b];R) de todas as func~oes f : [a; b] ! R contnuas e um espaco vetorial real, munido das operac~oes usuais de func~oes.
Subespacos
8. Quais dos subconjuntos abaixo s~ao subespacos de R3?
(a) W = f(x; y; z) 2 R3= x = 0g
(b) W = f(x; y; z) 2 R3= x 2 Zg
(c) W = f(x; y; z) 2 R3= x + 4y 􀀀 7z = 0g
(d) W = f(x; y; z) 2 R3= x 􀀀 z = 1g
(e) W = f(x; y; z) 2 R3= x2 = zg
(f) W = f(x; y; z) 2 R3= x  yg
9. Mostrar que s~ao subespacos de Mn(R) os seguintes subconjuntos:
(a) U = fA 2Mn(R)=At = Ag, ou seja, o conjunto das matrizes simetricas e um subespaco;
(b) V = fA 2Mn(R)=AT =