Economia

I. S. E. L.

P. E.

I. S. E. L.

P. E.

Exercícios resolvidos de Teoria das Probabilidades
Exercício 1: Sabendo que A e B são acontecimentos tais que, P [ A] = x ,

P ( A) =

1 1 1 1 35 ⋅ = e portanto P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − = 6 6 36 36 36

O evento G verifica-se quando o par (6,6) sai pelo menos uma vez nos n lançamentos. O seu completar G , verifica-se quando o par (6,6) nunca sai nos n lançamentos. Assim, a probabilidade de G é fácil de calcular, considerando como hipótese que os n lançamentos do par de dados produzem resultados

P [B ] = y e P [ A ∩ B ] = z , exprima cada uma das probabilidades em termos de x , y e z:
(a) P ⎡ A ∪ B ⎤ ; ⎣ ⎦ (b) P ⎡ A ∩ B ⎤ ; ⎣ ⎦ (c) P ⎡ A ∪ B ⎤ ; ⎣ ⎦

(d) P ⎡ A ∩ B ⎤ . ⎣ ⎦

independentes, vindo:
P (G ) = P ( A ∩ A ∩ ∩ A ) = P ( A ).P ( A).….P ( A ) = n vezes

Resolução:

n vezes

35 35 ⋅ 36 36

35 ⎛ 35 ⎞ = 36 ⎜ 36 ⎟ ⎝ ⎠

n

(a) Sendo C = A ∪ B , temos o evento complementar C = A ∪ B = A ∩ B , logo

P (C ) = P ⎡ A ∪ B ⎤ = 1 − P (C ) = 1 − P ( A ∩ B ) = 1 − z. ⎣ ⎦
(b) P ⎡ A ∩ B ⎤ = P (B ) − P ( A ∩ B ) = y − z. ⎣ ⎦ (c) Pela probabilidade da reunião de dois eventos temos:

Torna-se agora imediato o cálculo de P (G ) , pois P (G ) = 1 − P (G ) = 1 − ⎜ Pretende-se determinar o valor de n tal que P (G ) > P (G ) , ou seja:
1 ⎛ 35 ⎞ ⎛ 35 ⎞ ⎛ 35 ⎞ ⎛ 35 ⎞ ⎛ 35 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 36 ⎟ > 1 − ⎜ 36 ⎟ ⇔ 2. ⎜ 36 ⎟ > 1 ⇔ ⎜ 36 ⎟ > 2 ⇔ ln ⎜ 36 ⎟ > ln ⎜ 2 ⎟ , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n n n n n

⎛ 35 ⎞ ⎟ ⎝ 36 ⎠

n

por

uma

das

P ⎡ A ∪ B ⎤ = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 1 − P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) ⎣ ⎦
Pela alínea b) P ⎡ A ∩ B ⎤ = y − z , logo P ⎡ A ∪ B ⎤ = 1 − x + y − ( y − z ) = 1 − x + z. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

propriedades dos logaritmos temos:
⎛ 1⎞ ln ⎜ ⎟ 2 ⎛ 35 ⎞ ⎛ 1⎞ n.ln ⎜ ⎟ > ln ⎜ ⎟ ⇔ n < ⎝ ⎠ ⇔ n < 24,6. ⎛ 35 ⎞ ⎝ 36 ⎠ ⎝2⎠ ln ⎜ ⎟ ⎝ 36 ⎠

(d) Sendo C = A ∩ B , temos o evento complementar C = A ∩ B = A ∪ B , logo

P (C ) = P ( A ∩ B ) = 1 − P ( A ∪ B ) = 1 − [P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B )]