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Páginas: 5 (1181 palavras) Publicado: 15 de maio de 2014
Sistemas de Equações Lineares


Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
Resolvendo o sistema:

Encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
No caso do sistema:

Verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),... são algumas de suas infinitassoluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
No sistema:

Verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:
a) Sistema Possível e Determinado (solução única);
b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitassoluções);
c) Sistema Impossível (não tem solução).

Sistema normal
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A éo determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
a) Sistema Possível e Determinado (solução única), se D=det A 0; caso em que a solução é única.Exemplo:

m = n = 3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitas soluções), se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.
Um sistema possível eindeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
c) Sistema Impossível (não tem solução), se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:



Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.

Sistemas Equivalentes
Doissistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
e
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes:
S1 ~ S2.

Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo:
e
S1 ~S2

b)Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K ЄIR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Por exemplo:
Dado:

Substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com(II), obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.

Sistemas escalonados
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão eresolução de quaisquer sistemas lineares.
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita...
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