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Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a
C´alculo 2-MA72A-S41
Marzo de 2013
Atividade Pr´ atica Supervisionada II
Professor: David Baez-Sanchez
Data de entrega: 04/04/2013 (Data da prova II)
1. Utilize um dispositivo gr´afico para gr´aficar a fun¸c˜ao e as curvas de n´ıvel. Usando estes gr´aficos estime os pontos de m´aximo e m´ınimo locais e os pontos de sela da fun¸c˜ao. Em seguida use seus conhecimentos de c´alculo para determinar exatamente esses valores.
(a) f (x, y) = 3x2 y + y 3 − 3x2 − 3y 2 + 2.
(b) f (x, y) = xye−x

2 −y 2

.

(c) f (x, y) = sin(x) + sin(y) + sin(x + y), com 0 ≤ x ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ 2π.
(d) f (x, y) = sin(x) + sin(y) + cos(x + y), com 0 ≤ x ≤

π
4

e 0 ≤ y ≤ π4 .

2. Utilize um dispositivo gr´afico ou um m´etodo computacional para estabelecer aproximadamente os pontos cr´ıticos de f . Em seguida classifique os pontos cr´ıtico e determine os valores m´aximos e m´ınimos de f .
(a) f (x, y) = x4 − 5x2 + y 2 + 3x + 2.
(b) f (x, y) = 5 − 10xy − 4x2 + 3y − y 4 .
(c) f (x, y) = 2x + 4x2 − y 2 + 2xy 2 − x4 − y 4 .
(d) f (x, y) = ex + y 4 − x3 + 4cosy.
3. Desafio da derivada direcional
Considere o vetor v = (3, −1, −2). Proponha uma fun¸ca˜o f (x, y, z) e um ponto
(x0 , y0 , z0 ) tal que a derivada direcional de f no ponto (x0 , y0 , z0 ) na dire¸ca˜o de v tenha o maior valor poss´ıvel! Para participar do desafio vocˆe dever´a:
(a) Escrever explicitamente a fun¸ca˜o f (x, y, z) e ponto (x0 , y0 , z0 ).
(b) Calcular o valor da derivada direccional Dv f (x0 , y0 , z0 ).
Nota: A APS est´a formada pelos exerc´ıcios anteriores e a participa¸c˜ao no desafio (ou seja, apressentar uma proposta e fazer todas as contas e quest˜oes correspondentes da derivada direcional). N˜ao precisa ganhar o desafio para obter a nota m´axima da APS!.
Bˆonus: Aqueles que obtiverem os 20 valores mais altos para a derivada direcional no desafio, ganharam um bˆonus na nota da prova, equivalente a um aumento do 20% sobre a nota da prova.