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Páginas: 8 (1903 palavras) Publicado: 6 de agosto de 2013
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0
Reveja o capítulo introdutório de LIMITES, clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu BROWSER.
Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função
y = f(x), quando xvaria de x0 para x0 +  x0 :

Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg  , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER.
Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando  x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), podeser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando  x0  0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo  com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ =  .tende ao valor do ângulo  .
Ora, quando  x0  0 , já vimos que o quociente  y0 /  x0 representa a derivada dafunção y = f(x)
no ponto x0. Mas, o quociente  y0 /  x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo
SPQ =  , onde P é o vértice do ângulo. Quando  x0  0 , o ângulo SPQ =  , tende ao ângulo  .
Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo  . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.Podemos escrever então:
f '(x0) = tg
Guarde então a seguinte conclusão importante:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto
x = x0.
Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!
Vamos lá!
Existemfórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.
Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.
Temos neste caso:
y = f(x) = x2
f(x +  x) = (x + x)2 = x2 + 2x. x + ( x)2
f(x +  x) - f(x) = x2 + 2x. x + ( x)2 - x2 = 2x. x + ( x)2
 y = f(x +  x) - f(x) = x2 + 2x. x + ( x)2 - x2 = 2x. x + ( x)2
Portanto,

Observe que colocamos na expressão acima,  x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.
Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x .
Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a :y ' (10) = 2.10 = 20.
Qual a interpretação geométrica do resultado acima?
Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.
Ora, sendo  o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x ,  será um ângulo talque tg  = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que
  87º 8' 15" .
Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a   87º 8' 15" .
Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto deabcissa
x = 1000 .
Resposta: 5.
Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 02 de janeiro de 2000.
1 - Vimos na lição anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:

Onde:

A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. É entretanto, de bom alvitre,...
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