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Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0
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Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 +  x0 :

Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg  , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER.
Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando  x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando  x0  0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo  com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ =  .tende ao valor do ângulo  .
Ora, quando  x0  0 , já vimos que o quociente  y0 /  x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente  y0 /  x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo
SPQ =  , onde P é o vértice do ângulo. Quando  x0  0 , o ângulo SPQ =  , tende ao ângulo  .
Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo  . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.
Podemos escrever então: f '(x0) = tg
Guarde então a seguinte conclusão importante:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.
Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!
Vamos lá!
Existem