doc geometria 1982112576

Ensino Superior

Geometria Analítica
4 – Produto Escalar e Produto Vetorial

Amintas Paiva Afonso

1. Vetores

4.Distâncias

2. Reta

5. Cônicas

3. Plano

6. Superfícies

Uma base é
Sejam u e v, vetores. Se u formada por
= kv  u, v são L.D  u, v vetores que são L.I. não formam uma base.
Sejam u, v e w, vetores. Se u = av + bw u, v e w são L.D u, v e w não formam uma base.
As bases usuais,
E= {(1, 0), (0, 1)} que são chamadas de bases canônicas E={(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}

1.9 Módulo de um Vetor
Módulo de um vetorComprimento de um vetor

Dados os vetores u = (a, b) e v = (a, b, c) denota-se por módulo de u e módulo de v:
|u| = (a2 + b2)

|v | = (a2 + b2 + c2)

Usando o teorema de Pitágoras, temos: b u

|u| = (a2 + b2) a 1.10
1.10Produto
ProdutoEscalar
Escalarde
deVetores
Vetores
Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre dois vetores quando o interesse é:
Determinar o ângulo  entre esses vetores.

vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é:
u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2
Propriedades

u

I) u.v = |u||v|cos 
II) Se u.v = 0  uv

 v Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2 com v1 // u e v2  u. v v

v2

v2

 v1  u v1

u

O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por: v1 = projuv projuv = v.u .u

O produto vetorial ao contrário do produto escalar resulta em um vetor.
Notação do produto vetorial: u x v.
Ex: Calcule u x v sendo que u = (a1, b1, c1) e v =
(a2, b2, c2) i uxv=

j k

a 1 b 1 c1 a2 b2 c2

Observações u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos vetores altera o sentido do vetor resultante. u x v = 0 se e somente se u // v (vetores L.D.).
O vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e v.
(u x v).u = 0 e (u x v).v = 0

uxv

vxu

v

u

Se  é o ângulo entre os vetores u e v então:
|u x v| = |u||v| sen 
O |u x v| é a área de um paralelogramo de lados iguais ao |u| e |v|.
|v|

|u|

|v| s e n

As retas são funções matemáticas escritas da seguinte forma: f(x) = ax +b
I)

Equação