doc calculo 1635638500 1

Ensino Superior

Cálculo 1
1.3- Limites de Expressões Indeterminadas
Amintas Paiva Afonso

Cálculo 1 - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se faz a substituição direta de x por seu valor de tendência e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0).
Veja os casos nos slides seguintes.

Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais


1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a).
Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.

x 2  4 2 2  4 0 Indeterminação lim 
  x 2 x  2
2 2 0 x2  4
( x  2)( x  2) lim lim
lim( x  2) 2  2 4 x 2 x  2 x 2 x 2 x 2

Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais


2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais.

1
1
1 lim 
  Indeterminação x 2 x  2
2 2 0
1
1 lim  ....e...... lim
.
x 2 x  2 x 2 x  2
Portanto o limite não existe

Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais


3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.
1o exemplo (função racional):

2x3  x 2  5x  3
2x3
lim
 lim
 lim 2 x 2 2.() 2  x  x  x x  x 2
2o exemplo (função polinomial):

lim (5 x 2  2 x  1)  lim (5 x 2 ) 5.() 2 

x 

x 

Cálculo 1 - Limites


Expressões indeterminadas
Considere o seguinte limite:
3

x  27 lim x 3 x  3

Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:

x 3  27 33  27