Diversos

Professora Assistente – Edmary Silveira Barreto
Séries complexas

Dada a seqüência de função , consideremos a nova seqüência composto da seguinte maneira :

onde , dita a n – csime soma parcial. Série infinita:
Se a série diz – se convergente e s ( z ) é sua soma , caso contrário, a série diverge.

Convergência Absoluta

Uma série se a série dos valores absolutos converge.
Se converge, mas não converge, a série é c. converge.

Série de potência

Uma série de potência de z - a.

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para seja convergente, onde , não reais é que convirjam.

Teste da Razão

Se

Teste da Raiz

Se

Teste de Comparação

Se , então
Se , então pode ou não convergir.

Exercício.

1) Determine o domínio de convergência das séries.

a)
b)
c)
d)

Se

Teste de Comparação

4 -2

O Teorema do Resíduo

Seja uma função analítica no interior e em um contorno C, exceto para um pólo de ordem m em Z = Z0 interior a C. Então, expandindo com uma série de Laurent em potências de (Z – Z0 ), avaliamos equacionando-a a onde r é um círculo de centro Z0, de raio a, interno a c. Então pode ser demonstrado que as potências positivas da expansão, sendo analítica são integradas a zero por exceto no caso de dá o resultado , novamente por . Desde que a-1seja o único coeficiente restante será chamado de resíduo deem Z0.

Encontrando o resíduo.

Suponha quetenha um pólo simples em z0.

Em geral, para um pólo de ordem m em z0.

Ex: 1, encontre o resíduo em Z = - 4.

Ex: 2 . Pólo de ordem 3 em z = - 1

Observação 1) c:

2) Suponha que desejamos encontrar a resíduo de

O Teorema do Resíduo: Seja c uma curva fechada, R a região limitada por c euma função analítica em c v r, exceto nas sinj. a, b, c,...Pertencentes a R que possuem resíduos dados por a-1, b-1, c-1,...